Що таке натуральне число? Історія, сфера застосування, властивості. Що таке натуральне число Числові вирази та числові рівності

Навігація по сторінці:

Визначення. Натуральні числа- Це числа, які використовуються для рахунку: 1, 2, 3, …, n, …

Безліч натуральних чисел прийнято позначати символом N(Від лат. naturalis- природний).

Натуральні числа в десятковій системі числення записуються за допомогою десяти цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Безліч натуральних чисел - є впорядкованою безліччю, тобто. для будь-яких натуральних чисел m і n справедливе одне із співвідношень:

• або m = n (m і n ),
• або m > n (m більше n),
• або m< n (m меньше n ).

• Найменше натуральночисло - одиниця (1 )
• Найбільшого натурального числа немає.
• Нуль (0) не є натуральним числом.

З сусідніх натуральних чисел, число, яке стоїть ліворуч від числа n називається попереднім числу n, а число, яке стоїть правіше називається наступним за n.

Операції над натуральними числами

До замкнутих операцій над натуральними числами (операцій в результаті яких виходить натуральних чисел) відносяться такі арифметичні операції:

• Додавання
• множення
• Зведення в ступінь a b , де a - основа ступеня і b - показник ступеня. Якщо основа і показник - натуральні числа, то результат буде натуральним числом.

Додатково розглядають ще дві операції. З формальної погляду вони є операціями над натуральними числами, оскільки їх результат який завжди буде натуральним числом.

• Віднімання(При цьому Зменшуване має бути більше віднімається)
• Поділ

Класи та розряди

Розряд – положення (позиція) цифри у записі числа.

Нижчий розряд - найправіший. Старший розряд – найлівіший.

Приклад:

5 - одиниць, 0 - десятків, 7 - сотень,
2 - тисячі, 4 - десятків тисяч, 8 - сотень тисяч,
3 – мільйони, 5 – десятків мільйонів, 1 – сотня мільйонів

Для зручності читання, натуральні числа розбивають, на групи по три цифри в кожній починаючи праворуч.

Клас- Група з трьох цифр, на який розбито число, починаючи праворуч. Останній клас може складатися із трьох, двох або однієї цифри.

• Перший клас – клас одиниць;
• Другий клас – клас тисяч;
• Третій клас – клас мільйонів;
• Четвертий клас – клас мільярдів;
• П'ятий клас – клас трильйонів;
• Шостий клас – клас квадрильйонів (квадрильйонів);
• Сьомий клас – клас квінтильйонів (квінтильйонів);
• Восьмий клас – клас секстильйонів;
• Дев'ятий клас – клас септильйонів;

Приклад:

34 - мільярди 456 мільйонів 196 тисяч 45

Порівняння натуральних чисел

1. Порівняння натуральних чисел із різною кількістю цифр

   Серед натуральних чисел більше, у якого більше цифр

2. Порівняння натуральних чисел з рівною кількістю цифр

   Порівняти числа порозрядно, починаючи зі старшого розряду. Більше того, у якого більше одиниць у найвищому однойменному розряді

Приклад:

3466 346 - так як число 3466 складається з 4 цифр, а число 346 з 3 цифр.

34666 < 245784 - так як число 34666 складається з 5 цифр, а число 245784 із 6 цифр.

Приклад:

346 667 670 52 6 986

346 667 670 56 9 429

Друге з натуральних чисел із рівною кількістю цифр більше, тому що 6 > 2.

Питання вченому:— Я чув, що сума всіх натуральних чисел дорівнює −1/12. Це якийсь фокус чи це правда?

Відповідь прес-служби МФТІ— Так, такий результат можна отримати за допомогою прийому, який називають розкладанням функції в ряд.

Питання, задане читачем, досить складне, і тому ми відповідаємо на нього не звичайним для рубрики «Питання вченому» текстом на кілька абзаців, а деяким спрощеною подобою математичної статті.

У наукових статтях з математики, де потрібно довести деяку складну теорему, розповідь розбивається кілька частин, й у яких можуть по черзі доводитися різні допоміжні твердження. Ми припускаємо, що читачі знайомі з курсом математики в межах дев'яти класів, тому заздалегідь просимо вибачення у тих, кому розповідь видасться надто простою — випускники можуть одразу звернутися до http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_summation.

Сума всього

Почнемо з розмови про те, як можна скласти усі натуральні числа. Натуральні числа - це числа, які використовуються для рахунку цілих предметів - всі цілі і невід'ємні. Саме натуральні числа навчають діти насамперед: 1, 2, 3 тощо. Сума всіх натуральних чисел буде виразом виду 1+2+3+... = і так нескінченно.

Ряд натуральних чисел нескінченний, це легко довести: адже до будь-якого великого числа завжди можна додати одиницю. Або навіть помножити це число саме на себе, а то й обчислити його факторіал — зрозуміло, що вийде ще більша величина, яка також буде натуральним числом.

Детально всі операції з нескінченно великими величинами розбираються в курсі математичного аналізу, але зараз для того, щоб нас зрозуміли цей курс, що ще не здали, ми дещо спростимо суть. Скажімо, що нескінченність, до якої додали одиницю, нескінченність, яку звели у квадрат чи факторіал від нескінченності, — це все також нескінченність. Можна вважати, що нескінченність це такий особливий математичний об'єкт.

І за всіма правилами математичного аналізу в рамках першого семестру сума 1+2+3+...+нескінченність теж нескінченна. Це легко зрозуміти з попереднього абзацу: якщо до нескінченності щось додати, воно все одно буде нескінченністю.

Однак у 1913 році блискучий індійський математик-самоук Срініваса Рамануджан Айенгор придумав спосіб скласти натуральні числа дещо іншим чином. Незважаючи на те, що Рамануджан не отримував спеціальної освіти, його знання не були обмежені сьогоднішнім шкільним курсом математик знав про існування формули Ейлера-Маклорена. Бо вона грає важливу рольНадалі розповіді, про неї доведеться теж розповісти докладніше.

Формула Ейлера-Маклорена

Для початку запишемо цю формулу:

Як бачимо, вона досить складна. Частина читачів може пропустити цей розділ цілком, частина може прочитати відповідні підручники або хоча б статтю у Вікіпедії, а для тих, хто залишився, ми дамо короткий коментар. Ключову роль у формулі грає довільна функція f(x), яка може бути майже чим завгодно, аби у неї знайшлося достатня кількість похідних. Для тих, хто не знайомий з цим математичним поняттям (і все ж таки наважився прочитати написане тут!), скажімо ще простіше — графік функції не повинен бути лінією, яка різко ламається в будь-якій точці.

Похідна функції, якщо гранично спростити її зміст, є величиною, яка показує те, наскільки швидко зростає чи зменшується функція. З геометричної погляду похідна є тангенс кута нахилу дотичної до графіка.

Ліворуч у формулі стоїть сума виду «значення f(x) у точці m + значення f(x) у точці m+1 + значення f(x) у точці m+2 і так до точки m+n». У цьому числа m і n — натуральні, це треба підкреслити особливо.

Праворуч ми бачимо кілька доданків, і вони здаються дуже громіздкими. Перше (закінчується на dx) це інтеграл функції від точки m до точки n. Ризикуючи викликати гнів всієї

Третій доданок - сума від чисел Бернуллі (B 2k), поділених на факторіал подвоєного значення числа k і помножених на різницю похідних функції f(x) у точках n і m. Причому ще сильніше ускладнює справу, тут не просто похідна, а похідна 2k-1 порядку. Тобто все третє доданок виглядає так:

Число Бернуллі B 2 («2» так як у формулі коштує 2k, і ми починаємо складати з k=1) ділимо на факторіал 2 (це поки що просто двійка) і множимо на різницю похідних першого порядку (2k-1 при k=1) функції f(x) у точках n та m

Число Бернуллі B 4 («4» так як у формулі коштує 2k, а k тепер одно 2) ділимо на факторіал 4 (1×2х3×4=24) і множимо на різницю похідних третього порядку (2k-1 при k=2) функції f(x) у точках n та m

Число Бернуллі B 6 (див. вище) ділимо на факторіал 6 (1×2х3×4х5×6=720) і множимо на різницю похідних п'ятого порядку (2k-1 при k=3) функції f(x) у точках n і m

Підсумовування триває до k=p. Числа k і p виходять деякими довільними величинами, які ми можемо вибирати по-різному, разом з m і n — натуральними числами, якими обмежена ділянка, що розглядається, з функцією f(x). Тобто у формулі цілих чотири параметри, і це разом із довільністю функції f(x) відкриває великий простір для досліджень.

Залишилося скромне R, на жаль, тут не константа, а також досить громіздка конструкція, що виражається через згадані вище числа Бернуллі. Тепер саме час пояснити, що це таке, звідки взялося і чому взагалі математики почали розглядати такі складні висловлювання.

Числа Бернуллі та розкладання в ряд

У математичному аналізі є таке ключове поняття як розкладання до ряду. Це означає, що можна взяти якусь функцію і написати її безпосередньо (наприклад y = sin(x^2) + 1/ln(x) + 3x), а вигляді нескінченної суми безлічі однотипних доданків. Наприклад, багато функцій можна представити як суму статечних функцій, помножених на деякі коефіцієнти — тобто складної форми, графік зведеться до комбінації лінійної, квадратичної, кубічної... і так далі — кривих.

Теоретично обробки електричних сигналів величезну роль грає так званий ряд Фур'є — будь-яку криву можна розкласти на ряд із синусів і косинусів різного періоду; таке розкладання необхідно перетворення сигналу з мікрофона в послідовність нулів і одиниць всередині, скажімо, електронної схеми мобільного телефону. Розкладання в ряд також дозволяють розглядати неелементарні функції, а ряд найважливіших фізичних рівнянь при вирішенні дає вирази у вигляді ряду, а не у вигляді якоїсь кінцевої комбінації функцій.

У XVII столітті математики стали впритул займатися теорією рядів. Дещо пізніше це дозволило фізикам ефективно розраховувати процеси нагрівання різних об'єктів і вирішувати ще безліч інших завдань, які ми тут розглядати не будемо. Зауважимо лише те, що у програмі МФТІ, як і математичних курсах всіх провідних фізичних вузів, Рівняння з рішеннями у вигляді того чи іншого ряду присвячений як мінімум один семестр.

Якоб Бернуллі досліджував проблему підсумовування натуральних чисел в одній і тій же мірі (1^6 + 2^6 + 3^6 + ... наприклад) і отримав числа, за допомогою яких можна розкласти у згаданий вище статечний ряд інші функції - наприклад, tg(x). Хоча, здавалося б, тангенс не дуже схожий хоч на параболу, хоч на яку завгодно статечну функцію!

Поліноми Бернуллі пізніше знайшли своє застосування у рівняннях матфізики, а й у теорії ймовірностей. Це, загалом, передбачувано (адже ряд фізичних процесів — на кшталт броунівського руху або розпаду ядер — якраз і зумовлений різними випадковостями), але все одно заслуговує на окрему згадку.

Громіздка формула Ейлера-Маклорена використовувалася математиками для різних цілей. Так як у ній, з одного боку, стоїть сума значень функцій у певних точках, а з іншого - є і інтеграли, і розкладання в ряд, за допомогою цієї формули можна (залежно від того, що нам відомо) як взяти складний інтеграл, так і визначити суму низки.

Срініваса Рамануджан придумав цій формулі інше застосування. Він її трохи модифікував і отримав такий вираз:

Як функцію f(x) він розглянув просто x — нехай f(x) = x, це цілком правомірне припущення. Але для цієї функції перша похідна дорівнює просто одиниці, а друга і всі наступні — нулю: якщо все акуратно підставити в зазначений вираз і визначити відповідні числа Бернуллі, то якраз і вийде −1/12.

Це, зрозуміло, було сприйнято самим індійським математиком як щось надзвичайне. Оскільки він був не просто самоукою, а талановитим самоуком, він не став усім розповідати про відкриття, що поправило основи математики, а натомість написав лист Годфрі Харді, визнаному експерту в галузі як теорії чисел, так і математичного аналізу. Лист, до речі, містив приписку, що Харді, мабуть, захоче вказати автору на найближчу психіатричну лікарню: однак результатом, звісно, ​​стала не лікарня, а спільна робота.

Парадокс

Підсумовуючи все сказане вище, отримаємо таке: сума всіх натуральних чисел виходить рівною -1/12 при використанні спеціальної формули, яка дозволяє розкласти довільну функцію в деякий ряд із коефіцієнтами, які називаються числами Бернуллі. Однак це не означає, що 1+2+3+4 виявляється більше, ніж 1+2+3+... і так до безкінечності. В даному випадку ми маємо справу з парадоксом, який обумовлений тим, що розкладання в ряд — це свого роду наближення та спрощення.

Можна навести приклад набагато простішого і наочнішого математичного парадоксу, пов'язаного з вираженням чогось одного через щось інше. Візьмемо аркуш паперу в клітинку і намалюємо ступінчасту лінію із шириною та висотою сходинки в одну клітинку. Довжина такої лінії, очевидно, дорівнює подвоєному числу клітин — а ось довжина діагоналі, що спрямовує «драбинку», дорівнює числу клітин, помноженому на корінь з двох. Якщо зробити драбинку дуже дрібною, вона все одно буде тієї ж довжини і практично не відрізняється від діагоналі ламана лінія виявиться в корінь з двох разів більшою за ту саму діагоналі! Як бачите, для парадоксальних прикладів писати довгі складні формули не обов'язково.

Формула Ейлера-Маклорена, якщо не вдаватися в нетрі математичного аналізу, є таким самим наближенням, як і ламана лінія замість прямої. Використовуючи це наближення, можна отримати ті самі −1/12, проте це далеко не завжди буває доречним і виправданим. У ряді завдань теоретичної фізики подібні викладки застосовуються для розрахунків, але це той самий передній край досліджень, де ще рано говорити про коректне відображення реальності математичними абстракціями, а розбіжності різних обчислень один з одним — звичайна справа.

Так, оцінки щільності енергії вакууму на основі квантової теорії поля та на основі астрофізичних спостережень різняться більш ніж на 120 порядків. Тобто в 10^120 ступеня разів. Це одне з невирішених завдань сучасної фізики; Тут явно просвічує прогалину у знаннях про Всесвіт. Або ж проблема — без відповідних математичних методів для опису навколишнього світу. Фізики-теоретики спільно з математиками намагаються знайти такі способи описати фізичні процеси, при яких не буде виникати рядів, що розходяться (йдуть у нескінченність), але це далеко не найпростіше завдання.

Математика виділилася із загальної філософії приблизно у шостому столітті до н. е.., і з цього моменту почалася її переможна хода світом. Кожен етап розвитку вносив щось нове - елементарний рахунок еволюціонував, перетворювався на диференціальне та інтегральне числення, змінювалися століття, формули ставали все заплутанішими, і настав той момент, коли «почалася найскладніша математика – з неї зникли всі числа». Але що лежало в основі?

Початок початків

Натуральні числа виникли нарівні з першими математичними операціями. Раз корінець, два корінці, три корінці… З'явилися вони завдяки індійським ученим, які вивели першу позиційну

Слово «позиційність» означає, що розташування кожної цифри серед строго визначено і відповідає своєму розряду. Наприклад, числа 784 і 487 - цифри одні й самі, але числа є рівносильними, оскільки перше включає у собі 7 сотень, тоді як друге - лише 4. Нововведення індійців підхопили араби, які довели числа до того виду, що ми знаємо зараз.

У давнину числам надавалося містичне значення, Піфагор вважав, що число лежить в основі створення світу нарівні з основними стихіями - вогнем, водою, землею, повітрям. Якщо розглядати все лише з математичної сторони, то що таке число? Поле натуральних чисел позначається як N і є нескінченним рядом з чисел, які є цілими та позитивними: 1, 2, 3, … + ∞. Нуль виключається. Використовується в основному для підрахунку предметів та вказівки порядку.

Що таке у математиці? Аксіоми Пеано

Поле N є базовим, яким спирається елементарна математика. З часом виділяли поля цілих, раціональних,

Роботи італійського математика Джузеппе Пеано уможливили подальшу структуризацію арифметики, домоглися її формальності та підготували ґрунт для подальших висновків, які виходили за рамки області поля N.

Що таке натуральне число, було з'ясовано раніше простою мовою, нижче буде розглянуто математичне визначення на базі аксіом Пеано.

• Одиниця вважається натуральним числом.
• Число, що йде за натуральним числом, є натуральним.
• Перед одиницею немає натурального числа.
• Якщо число b слід за числом c, і за числом d, то c=d.
• Аксіома індукції, яка у свою чергу показує, що таке натуральне число: якщо деяке твердження, яке залежить від параметра, правильне для числа 1, то припустимо, що воно працює і для числа n з поля натуральних чисел N. Тоді твердження вірне і для n =1 із поля натуральних чисел N.

Основні операції для поля натуральних чисел

Оскільки поле N стало першим для математичних розрахунків, саме до нього ставляться як області визначення, і області значень низки операцій нижче. Вони бувають замкнутими і немає. Основною відмінністю є те, що замкнуті операції гарантовано залишають результат у межах множини N незалежно від того, які числа задіяні. Достатньо того, що вони натуральні. Результат інших чисельних взаємодій не настільки однозначний і безпосередньо залежить від цього, що з числа беруть участь у вираженні, оскільки може суперечити основному визначенню. Отже, замкнуті операції:

• додавання - x + y = z де x, y, z включені в поле N;
• множення - x * y = z де x, y, z включені в поле N;
• зведення в ступінь - x y де x, y включені в поле N.

Інші операції, результат яких може існувати у тих визначення "що таке натуральне число", такі:

Властивості чисел, що належать полю N

Всі подальші математичні міркування будуть ґрунтуватися на таких властивостях, найтривіальніших, але від цього не менш важливих.

• Переміщувальна властивість додавання - x + y = y + x, де числа x, y включені в поле N. Або всім відоме "від зміни місць доданків сума не змінюється".
• Переміщувальна властивість множення - x * y = y * x, де числа x, y включені до поля N.
• Сполучна властивість додавання - (x + y) + z = x + (y + z), де x, y, z включені в поле N.
• Сполучна властивість множення - (x * y) * z = x * (y * z), де числа x, y, z включені до поля N.
• розподільна властивість - x(y+z) = x*y+x*z, де числа x, y, z включені в поле N.

Таблиця Піфагора

p align="justify"> Одним з перших кроків у пізнанні школярами всієї структури елементарної математики після того, як вони усвідомили для себе, які числа називаються натуральними, є таблиця Піфагора. Її можна розглядати не лише з погляду науки, а й як найцінніший науковий пам'ятник.

Ця таблиця множення зазнала з часом ряд змін: з неї прибрали нуль, а числа від 1 до 10 позначають самі себе, без урахування порядків (сотні, тисячі...). Вона являє собою таблицю, в якій назви рядків і стовпців - числа, а вміст осередків їх перетину дорівнює їхньому ж твору.

У практиці навчання останніх десятиліть спостерігалася необхідність заучування таблиці Піфагора "по порядку", тобто спочатку йшло зазубрювання. Множення на 1 виключалося, так як результат дорівнював 1 або більшому множнику. Тим часом у таблиці неозброєним поглядом можна помітити закономірність: добуток чисел зростає на один крок, який дорівнює заголовку рядка. Таким чином, другий множник показує нам, скільки разів потрібно взяти перший, щоб отримати потрібний твір. Ця система значно зручніша за ту, що практикувалася в середні віки: навіть розуміючи, що таке натуральне число і наскільки воно тривіальне, люди примудрялися ускладнювати собі повсякденний рахунок, користуючись системою, яка базувалася на ступенях двійки.

Підмножина як колиска математики

на Наразіполе натуральних чисел N розглядається лише як одне з підмножин комплексних чиселАле це не робить їх менш цінними в науці. Натуральне число - перше, що пізнає дитина, вивчаючи себе та навколишній світ. Раз пальчик, два пальчики... Завдяки йому у людини формується логічне мислення, а також уміння визначати причину і виводити слідство, готуючи ґрунт для великих відкриттів.

У математиці існує кілька різних множин чисел: дійсні, комплексні, цілі, раціональні, ірраціональні, … повсякденному життіми найчастіше використовуємо натуральні числа, тому що ми стикаємося з ними за рахунку та пошуку, позначення кількості предметів.

Вконтакте

Які числа називаються натуральними

З десяти цифр можна записати абсолютно будь-яку суму класів і розрядів. Натуральними значеннями вважаються ті, які використовуються:

• За рахунку будь-яких предметів (перший, другий, третій, … п'ятий, … десятий).
• При позначенні кількості предметів (один, два, три…)

N значення завжди цілі та позитивні. Найбільшого N немає, оскільки безліч цілих значень не обмежена.

Увага!Натуральні числа виходять за рахунку предметів або за позначення їх кількості.

Абсолютно будь-яке число може бути розкладене та представлене у вигляді розрядних доданків, наприклад: 8.346.809=8 мільйонів+346 тисяч+809 одиниць.

Безліч N

Безліч N знаходиться у множині дійсних, цілих та позитивних. На схемі множин вони перебували одне в одному, оскільки безліч натуральних є частиною.

Безліч натуральних чисел позначається буквою N. Ця множина має початок, але не має кінця.

Ще існує розширена множина N, де включається нуль.

Найменше натуральне число

У більшості математичних шкіл найменшим значенням N вважається одиниця, Оскільки відсутність предметів вважається порожнечею.

Але в іноземних математичних школах, наприклад, у французькій, вважається натуральним. Наявність у ряді нуля полегшує підтвердження деяких теорем.

Ряд значень N, що включає нуль, називається розширеним і позначається символом N0 (нульовий індекс).

Ряд натуральних чисел

N ряд – це послідовність усіх N сукупностей цифр. Ця послідовність немає кінця.

Особливість натурального ряду полягає в тому, що по наступне числовідрізнятиметься на одиницю від попереднього, тобто зростатиме. Але значення не можуть бути негативними.

Увага!Для зручності рахунку існують класи та розряди:

• Одиниці (1, 2, 3),
• Десятки (10, 20, 30),
• Сотні (100, 200, 300),
• Тисячі (1000, 2000, 3000),
• Десятки тисяч (30.000),
• Сотні тисяч (800.000),
• Мільйони (4000000) і т.д.

Усі N

Усі N перебувають у багатьох дійсних, цілих, неотрицательных значень. Вони є їх складовою.

Ці значення йдуть у нескінченність, можуть належати класам мільйонів, мільярдів, квінтильйонів тощо.

Наприклад:

• П'ять яблук, три кошеня,
• Десять рублів, тридцять олівців,
• Сто кілограмів, триста книг,
• Мільйон зірок, три мільйони людей і т.д.

Послідовність N

У різних математичних школах можна зустріти два інтервали, яким належить послідовність N:

від нуля до плюс нескінченності, включаючи кінці, і від одиниці до плюс нескінченності, включаючи кінці, тобто все позитивні цілі відповіді.

N сукупності цифр може бути як парними, і парними. Розглянемо поняття непарності.

Непарні (будь-які непарні закінчуються на цифри 1, 3, 5, 7, 9.) при двох мають залишок. Наприклад, 7:2 = 3,5, 11:2 = 5,5, 23:2 = 11,5.

Що означає парні N

Будь-які парні суми класів закінчуються на цифри: 0, 2, 4, 6, 8. При поділі парних N на 2 залишку не буде, тобто в результаті виходить ціла відповідь. Наприклад, 50:2=25, 100:2=50, 3456:2=1728.

Важливо!Числовий ряд з N не може складатися тільки з парних чи непарних значень, оскільки вони повинні чергуватись: за парним завжди йде непарне, за ним знову парне і т.д.

Властивості N

Як і всі інші множини, N мають свої власні, особливі властивості. Розглянемо властивості N низки (не розширеного).

• Значення, яке є найменшим і яке не слідує ні за яким іншим – це одиниця.
• N є послідовністю, тобто одне натуральне значення слід за іншим(крім одиниці – воно перше).
• Коли ми робимо обчислювальні операції над N сумами розрядів і класів (складаємо, множимо), то у відповіді завжди виходить натуральнезначення.
• При обчисленнях можна використовувати перестановку та поєднання.
• Кожне наступне значення не може бути меншим за попереднє. Також у N ряді діятиме такий закон: якщо число А менше, то в числовому ряді завжди знайдеться С, для якого справедлива рівність: А+С=В.
• Якщо взяти два натуральні вирази, наприклад А і В, то для них буде справедливо один з виразів: А = В, А більше, А менше В.
• Якщо менше В, а менше З, то звідси випливає, що А менше.
• Якщо А менше, то слід, що: якщо додати до них один і той же вираз (С), то А + С менше В + С. Також справедливо, якщо ці значення помножити на З, то АС менше АВ.
• Якщо більше А, але менше З, то справедливо: В-А меншеС-А.

Увага!Усі перераховані вище нерівності дійсні й у зворотному напрямку.

Як називаються компоненти множення

У багатьох простих і навіть складних завданнях знаходження відповіді залежить від уміння школярів.

Для того, щоб швидко і правильно множити та вміти вирішувати обернені завдання, необхідно знати компоненти множення.

15. 10 = 150. У даному виразі 15 та 10 є множниками, а 150 – твором.

Множення має властивості, які необхідні при вирішенні завдань, рівнянь та нерівностей:

• Від перестановки множників кінцевий твір не зміниться.
• Щоб знайти невідомий множник, треба твір розділити на відомий множник (справедливо всім множників).

Наприклад: 15 . Х = 150. Розділимо твір на відомий множник. 150: 15 = 10. Зробимо перевірку. 15 . 10 = 150. За таким принципом вирішуються навіть складні лінійні рівняння(якщо спростити їх).

Важливо!Твір може складатися не лише з двох множників. Наприклад: 840 = 2 . 5. 7. 3. 4

Що таке натуральні числа у математиці?

Розряди та класи натуральних чисел

Висновок

Підведемо підсумки. N використовуються при рахунку чи позначенні кількості предметів. Ряд натуральних сукупностей цифр нескінченний, але він включає лише цілі і позитивні суми розрядів і класів. Примноження теж необхідне для того, щоб рахувати предмети, а також для вирішення завдань, рівнянь та різних нерівностей.

Історія натуральних чисел почалася ще за первісних часів.З давніх-давен люди вважали предмети. Наприклад, у торгівлі потрібен був рахунок товару або у будівництві рахунок матеріалу. Та навіть у побуті теж доводилося рахувати речі, продукти, худобу. Спочатку числа використовувалися лише підрахунку у житті, практично, але надалі у розвитку математики стали частиною науки.

Натуральні числа- Це числа які ми використовуємо при рахунку предметів.

Наприклад: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ….

Нуль не відноситься до натуральних чисел.

Усі натуральні числа або назвемо множину натуральних чисел позначається символом N.

Таблиця натуральних чисел.

Натуральний ряд.

Натуральні числа, записані поспіль у порядку зростання, утворюють натуральний рядабо ряд натуральних чисел.

Властивості натурального ряду:

• Найменше натуральне число – одиниця.
• У натурального ряду таке число більше попереднього на одиницю. (1, 2, 3, …) Три точки чи трикрапки ставляться у разі, якщо закінчити послідовність чисел неможливо.
• Натуральний ряд немає найбільшого числа, він нескінченний.

Приклад №1:
Напишіть перші 5 натуральних числа.
Рішення:
Натуральні числа починаються з одиниці.
1, 2, 3, 4, 5

Приклад №2:
Нуль є натуральним числом?
Відповідь: ні.

Приклад №3:
Яке перше число у натуральному ряду?
Відповідь: натуральний ряд починається з одиниці.

Приклад №4:
Яке останнє число у натуральному ряді? Назвіть найбільше натуральне число?
Відповідь: Натуральний ряд починається з одиниці. Кожне наступне число більше за попереднє на одиницю, тому останнього числа не існує. Найбільшого числа немає.

Приклад №5:
Чи має одиниця в натуральному ряду попереднє число?
Відповідь: ні, тому що одиниця є першим числом у натуральному ряду.

Приклад №6:
Назвіть таке число в натуральному ряду за числами: а)5, б)67, в)9998.
Відповідь: а)6, б)68, в)9999.

Приклад №7:
Скільки чисел знаходиться у натуральному ряду між числами: а)1 та 5, б)14 та 19.
Рішення:
а) 1, 2, 3, 4, 5 – три числа перебувають між числами 1 та 5.
б) 14, 15, 16, 17, 18, 19 – чотири числа перебувають між числами 14 та 19.

Приклад №8:
Назвіть попереднє число за числом 11.
Відповідь: 10.

Приклад №9:
Які числа застосовуються за рахунку предметів?
Відповідь: натуральні числа.