Як вирішувати приклади з формулою скороченого множення. Формули скороченого множення

\u003e\u003e Математика: Формули скороченого множення

Формули скороченого множення

Є кілька випадків, коли множення одного многочлена на інший призводить до компактного, легко запам'ятовується результату. У цих випадках краще не говоріть кожен раз один многочлен на інший, а користуватися готовим результатом. Розглянемо ці випадки.

1. Квадрат суми і квадрат різниці:

Приклад 1. Розкрити дужки у виразі:

а) (Зх + 2) 2;

б) (5а 2 - 4b 3) 2

а) Скористаємося формулою (1), врахувавши, що в ролі а виступає Зх, а в ролі b - число 2.
отримаємо:

(Зх + 2) 2 \u003d (Зх) 2 + 2 Зх 2 + 2 2 \u003d 9x 2 + 12x + 4.

б) Скористаємося формулою (2), Врахувавши, що в ролі авиступає 5а 2, А в ролі b виступає 4b 3. отримаємо:

(5а 2 -4b 3) 2 \u003d (5а 2) 2 - 25a 2 4b 3 + (4b 3) 2 \u003d 25a 4 -40a 2 b 3 + 16b 6.

При використанні формул квадрата суми або квадрата різниці враховуйте, що
(- a - b) 2 \u003d (а + b) 2;
(B-a) 2 \u003d (a-b) 2.

Це випливає з того, що (- а) 2 \u003d а 2.

Відзначимо, що на формулах (1) і (2) засновані деякі математичні фокуси, що дозволяють робити обчислення в розумі.

Наприклад, можна практично усно зводити в квадрат числа, що закінчуються на 1 і 9. Справді

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2 70 1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041;
91 2 \u003d (90 + I) 2 \u003d 90 2 + 2 90 1 + 1 2 \u003d 8100 + 180 + 1 \u003d 8281;
69 2 \u003d (70 - I) 2 \u003d 70 2 - 2 70 1 + 1 2 \u003d 4900 - 140 + 1 \u003d 4761.

Іноді можна швидко звести в квадрат і число, що закінчується цифрою 2 або цифрою 8. Наприклад,

102 2 = (100 + 2) 2 = 100 2 + 2 100 2 + 2 2 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404;

48 2 = (50 - 2) 2 = 50 2 - 2 50 2 + 2 2 = 2500 - 200 + 4 = 2304.

Але найелегантніший фокус пов'язаний зі зведенням в квадрат чисел, що закінчуються цифрою 5.
Проведемо відповідні міркування для 85 2.

маємо:

85 2 = (80 + 5) 2 = 80 2 + 2 80 5 + 5 2 =-80 (80+ 10)+ 25 = 80 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225.

Помічаємо, що для обчислення 85 2 досить було помножити 8 на 9 і до отриманого результату приписати справа 25. Аналогічно можна надходити і в інших випадках. Наприклад, 35 2 \u003d 1225 (3 4 \u003d 12 і до отриманого числа приписали праворуч 25);

65 2 \u003d 4225; 1252 \u003d 15625 (12 18 \u003d 156 і до отриманого числа приписали праворуч 25).

Раз вже ми з вами заговорили про різні цікавих обставин, пов'язаних з нудними (на перший погляд) формулами (1) і (2), то доповнимо цю розмову наступним геометричним міркуванням. Нехай а і b - позитивні числа. Розглянемо квадрат зі стороною а + b і виріжемо в двох його кутах квадрати зі сторонами, відповідно рівними а й b (рис. 4).

Площа квадрата зі стороною а + b дорівнює (а + b) 2. Але цей квадрат ми розрізали на чотири частини: квадрат зі стороною а (його площа дорівнює а 2), квадрат зі стороною b (його площа дорівнює b 2), два прямокутника зі сторонами а і b (площа кожного такого прямокутника дорівнює ab). Значить, (а + b) 2 \u003d а 2 + b 2 + 2аb, т. Е. Отримали формулу (1).

Помножимо двочлен а + b на двочлен а - b. отримаємо:
(А + b) (аb) \u003d а 2 - аb + BА - b 2 \u003d а 2 - b 2.
Отже

Будь-яке рівність в математиці вживається як зліва направо (тобто ліва частина рівності замінюється його правою частиною), так і справа наліво (тобто права частина рівності замінюється його лівою частиною). Якщо формулу C) використовувати зліва направо, то вона дозволяє замінити твір (а + b) (а - b) готовим результатом а 2 - b 2. Цю ж формулу можна використовувати справа наліво, тоді вона дозволяє замінити різницю квадратів а 2 - b 2 твором (а + b) (а - b). Формулою (3) в математиці дано спеціальну назву - різниця квадратів.

Зауваження. Не плутайте терміни «різницю квадратів» до і «квадрат різниці». Різниця квадратів - це а 2 - b 2, значить, мова йде про формулу (3); квадрат різниці - це (a- b) 2, значить мова йде про формулу (2). Звичайною мовою формулу (3) читають «справа наліво» так:

різницю квадратів двох чисел (виразів) дорівнює добутку суми цих чисел (виразів) на їх різницю,

Приклад 2. виконати множення

(3x- 2y) (3x + 2y)
Рішення. маємо:
(Зх - 2у) (Зх + 2у) \u003d (Зx) 2 - (2у) 2 \u003d 9x 2 - 4y 2.

Приклад 3. Уявити двочлен 16x 4 - 9 у вигляді твору Двочленні.

Рішення. Маємо: 16x 4 \u003d (4x 2) 2, 9 \u003d З 2, значить, заданий двочлен є різниця квадратів, тобто до нього можна застосувати формулу (3), прочитану справа наліво. Тоді отримаємо:

16x 4 - 9 \u003d (4x 2) 2 - З 2 \u003d (4x 2 + 3) (4x 2 - 3)

Формула (3), як і формули (1) і (2), використовується для математичних фокусів. дивіться:

79 81 \u003d (80 - 1) (80 + 1) - 802 - I2 \u003d 6400 - 1 \u003d 6399;
42 38 \u003d D0 + 2) D0 - 2) \u003d 402 - 22 \u003d 1600. - 4 \u003d 1596.

Завершимо розмову про формулу різниці квадратів цікавим геометричним міркуванням. Нехай а і b - позитивні числа, причому а\u003e b. Розглянемо прямокутник зі сторонами а + b і а - b (рис. 5). Його площа дорівнює (а + b) (а - b). Відріжемо прямокутник зі сторонами b і а - b і підклеїти його до решти так, як показано на малюнку 6. Ясно, що отримана фігура має ту ж площу, т. Е. (А + b) (а - b). Але цю фігуру можна
побудувати так: з квадрата зі стороною а вирізати квадрат зі стороною b (це добре видно на рис. 6). Значить, площа нової фігури дорівнює а 2 - b 2. Отже, (а + b) (а - b) \u003d а 2 - b 2, т. Е. Отримали формулу (3).

3. Різниця кубів і сума кубів

Помножимо двочлен а - b на тричлен а 2 + ab + b 2.
отримаємо:
(Ab) (а 2 + ab + b 2) \u003d а а 2 + а ab + а b 2 - b а 2 - b аb -bb 2 \u003d а 3 + а 2 b + аb 2 -а 2 b- аb 2 -b 3 \u003d а 3 -b 3.

аналогічно

(А + b) (а 2 - аb + b 2) \u003d а 3 + b 3

(Перевірте це самі). Отже,

Формулу (4) зазвичай називають різницею кубів, Формулу (5) - сумою кубів. Спробуємо перевести формули (4) і (5) на звичайну мову. Перш ніж це зробити, зауважимо, що вираз a 2 + ab + b 2 схоже на вираз а 2 + 2ab + b 2, яке фігурувало в формулі (1) і давало (а + b) 2; вираз а 2ab + b 2 схоже на вираз а 2 - 2ab + b 2, яке фігурувало в формулі (2) і давало (а - b) 2.

Щоб відрізнити (в мові) ці пари виразів один від одного, кожне з виразів а 2 + 2ab + b 2 і а 2 - 2ab + b 2 називають повним квадратом (суми або різниці), а кожне з виразів а 2 + ab + b 2 і а 2 - ab + b 2 називають неповним квадратом (суми або різниці). Тоді виходить наступний переклад формул (4) і (5) (прочитаних «справа наліво») на звичайну мову:

різницю кубів двох чисел (виразів) дорівнює добутку різниці цих чисел (виразів) на неповний квадрат їх суми; сума кубів двох чисел (виразів) дорівнює добутку суми цих чисел (виразів) на неповний квадрат їх різниці.

Зауваження. Всі отримані в цьому параграфі формули (1) - (5) використовуються як зліва направо, так і справа наліво, тільки в першому випадку (зліва направо) говорять, що (1) - (5) - формули скороченого множення, а в другому випадку (справа наліво) говорять, що (1) - (5) - формули розкладання на множники.

Приклад 4. Виконати множення (2х 1) (4x 2 + 2х +1).

Рішення. Так як перший множник є різниця одночленним 2х і 1, а другий множник - неповний квадрат їх суми, то можна скористатися формулою (4). отримаємо:

(2х - 1) (4x 2 + 2х + 1) \u003d (2x) 3 - I 3 \u003d 8x 3 - 1.

Приклад 5. Уявити двочлен 27а 6 + 8b 3 у вигляді добутку многочленів.

Рішення. Маємо: 27а 6 \u003d (За 2) 3, 8b 3 \u003d (2b) 3. Значить, заданий двочлен є сума кубів, т. Е. До нього можна застосувати формулу 95), прочитану справа наліво. Тоді отримаємо:

27а 6 + 8b 3 \u003d (За 2) 3 + (2b) 3 \u003d (За 2 + 2Ь) ((За 2) 2 - За 2 2Ь + (2b) 2) \u003d (За 2 + 2Ь) (9а 4 - 6а 2 Ь + 4b 2).

Допомога школяреві онлайн, Математика для 7 класу скачати, календарно-тематичне планування

А. В. Погорєлов, Геометрія для 7-11 класів, Підручник для загальноосвітніх установ

Однією з перших тим, що вивчаються в курсі алгебри, є формули скороченого множення. У 7 класі вони застосовуються в найпростіших ситуаціях, де потрібно розпізнати в вираженні одну з формул і виконати розкладання многочлена на множники або, навпаки, швидко звести суму або різницю в квадрат або куб. Надалі ФСУ використовують для швидкого вирішення нерівностей і рівнянь і навіть для обчислення деяких числових виразів без калькулятора.

Як виглядає список формул

Існує 7 основних формул, що дозволяють швидко здійснити множення многочленів в дужках.

Іноді в цей список також включається розкладання для четвертого ступеня, яке випливає з представлених тотожностей і має вигляд:

a⁴ - b⁴ \u003d (a - b) (a + b) (a² + b²).

Все рівності мають пару (сума - різниця), крім різниці квадратів. Для суми квадратів формула не наводиться.

Решта рівності легко запам'ятовуються:

Слід пам'ятати, що ФСУ працюють в будь-якому випадку і для будь-яких величин a і b: Це можуть бути як довільні числа, так і цілі вирази.

У ситуації, якщо раптом не виходить пригадати, який знак стоїть у формулі перед тим чи іншим доданком, можна розкрити дужки і отримати той же результат, що і після використання формули. Наприклад, якщо проблема виникла при застосуванні ФСУ куба різниці, потрібно записати вихідне вираз і по черзі виконати множення:

(Ab) ³ \u003d (ab) (ab) (ab) \u003d (a² - ab - ab + b²) (ab) \u003d a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ \u003d a³ - 3a²b + 3ab² - b³.

В результаті після приведення всіх подібних членів був отриманий такий же многочлен, як і в таблиці. Такі ж маніпуляції можна проводити і з усіма іншими ФСУ.

Застосування ФСУ для вирішення рівнянь

Наприклад, потрібно вирішити рівняння, що містить многочлен 3 ступеня:

x³ + 3x² + 3x + 1 \u003d 0.

У шкільній програмі не розглядаються універсальні прийоми для вирішення кубічних рівнянь, і подібні завдання найчастіше вирішуються більш простими методами (наприклад, розкладанням на множники). Якщо зауважити, що ліва частина тотожності нагадує куб суми, то рівняння можна записати в більш простому вигляді:

(X + 1) ³ \u003d 0.

Корінь такого рівняння обчислюється усно: x \u003d -1.

Аналогічним способом вирішуються нерівності. Для прикладу можна вирішити нерівність x³ - 6x² + 9x\u003e 0.

В першу чергу необхідно розкласти вираз на множники. Спочатку потрібно винести за дужки x. Після цього слід звернути увагу, що вираз в дужках можна перетворити в квадрат різниці.

Потім необхідно знайти точки, в яких вираз набуває нульових значень, і відзначити їх на числовій прямій. У конкретному випадку це будуть 0 і 3. Потім методом інтервалів визначити, в яких проміжках x буде відповідати умові нерівності.

ФСУ можуть виявитися корисними при виконанні деяких розрахунків без допомоги калькулятора:

703² - 203² \u003d (703 + 203) (703 - 203) \u003d 906 ∙ 500 \u003d 453000.

Крім того, розкладаючи вираження на множники, можна легко виконувати скорочення дробів і спрощення різних алгебраїчних виразів.

Приклади завдань для 7-8 класу

На закінчення розберемо і вирішимо два завдання на застосування формул скороченого множення з алгебри.

Завдання 1. Спростити вираз:

(M + 3) ² + (3m + 1) (3m - 1) - 2m (5m + 3).

Рішення. В умові завдання потрібно спростити вираз, т. Е. Розкрити дужки, виконати дії множення і зведення в ступінь, а також привести всі подібні доданки. Умовно розділимо вираз на три частини (по числу складових) і по черзі розкриємо дужки, застосовуючи ФСУ там, де це можливо.

• (M + 3) ² \u003d m² + 6m + 9 (Квадрат суми);
• (3m + 1) (3m - 1) \u003d 9m² - 1 (Різниця квадратів);
• В останньому доданку необхідно виконати множення: 2m (5m + 3) \u003d 10m² + 6m.

Підставимо отримані результати в вихідне вираз:

(M² + 6m + 9) + (9m² - 1) - (10m² + 6m).

З урахуванням знаків розкриємо дужки і наведемо подібні доданки:

m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² - 6m \u003d 8.

Завдання 2. Вирішити рівняння, що містить невідоме k в 5 ступеня:

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ - 4k² - 4k \u003d k³.

Рішення. В цьому випадку необхідно скористатися ФСУ і методом угруповання. Потрібно перенести останнє і передостаннє доданок в праву частину тотожності.

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ \u003d k³ + 4k² + 4k.

З правої і з лівої частини виноситься загальний множник (K² + 4k +4):

k³ (k² + 4k + 4) \u003d k (k² + 4k + 4).

Все переноситься в ліву частину рівняння, щоб в правій залишився 0:

k³ (k² + 4k + 4) - k (k² + 4k + 4) \u003d 0.

Знову необхідно винести загальний множник:

(K³ - k) (k² + 4k + 4) \u003d 0.

З першого отриманого сомножителя можна винести k. За формулою короткого множення другий множник буде тотожно дорівнює (K + 2) ²:

k (k² - 1) (k + 2) ² \u003d 0.

Використання формули різниці квадратів:

k (k - 1) (k + 1) (k + 2) ² \u003d 0.

Оскільки добуток дорівнює 0, якщо хоча б один з його множників нульовий, знайти всі корені рівняння не складе труднощів:

1. k \u003d 0;
2. k - 1 \u003d 0; k \u003d 1;
3. k + 1 \u003d 0; k \u003d -1;
4. (K + 2) ² \u003d 0; k \u003d -2.

На підставі наочних прикладів можна зрозуміти, як запам'ятати формули, їх відмінності, а також вирішити кілька практичних завдань із застосуванням ФСУ. Завдання прості, і при їх виконанні не повинно виникнути ніяких складнощів.

При розрахунку алгебраїчних многочленів для спрощення обчислень використовуються формули скороченого множення. Всього таких формул сім. Їх все необхідно знати напам'ять.

Слід також пам'ятати, що замість «a» і «b» в формулах можуть стояти як числа, так і будь-які інші алгебраїчні многочлени.

різниця квадратів

Запам'ятайте!

різниця квадратів двох чисел дорівнює добутку різниці цих чисел і їх суми.

• 15 2 - 2 2 \u003d (15 - 2) (15 + 2) \u003d 13 · 17 \u003d 221
• 9a 2 - 4b 2 з 2 \u003d (3a - 2bc) (3a + 2bc)

квадрат суми

Запам'ятайте!

Квадрат суми двох чисел дорівнює квадрату першого числа плюс подвоєний добуток першого числа на друге плюс квадрат другого числа.

Зверніть увагу, що за допомогою цієї формули скороченого множення легко знаходити квадрати великих чисел, Не використовуючи калькулятор або множення в стовпчик. Пояснимо на прикладі:

Знайти 112 2.

• Розкладемо 112 на суму чисел, чиї квадрати ми добре пам'ятаємо.
  112 = 100 + 1
• Запишемо суму чисел в дужки і поставимо над дужками квадрат.
  112 2 = (100 + 12) 2
• Скористаємося формулою квадрата суми:
  112 2 \u003d (100 + 12) 2 \u003d 100 2 + 2 · 100 · 12 + 12 2 \u003d 10 000 + 2 400 + 144 \u003d 12 544

Пам'ятайте, що формула квадрат суми також справедлива для будь-яких алгебраїчних многочленів.

• (8a + с) 2 \u003d 64a 2 + 16ac + c 2

Застереження!

квадрат різниці

Запам'ятайте!

Квадрат різниці двох чисел дорівнює квадрату першого числа мінус подвоєний добуток першого на друге плюс квадрат другого числа.

Також варто запам'ятати дуже корисне перетворення:

Формула вище доводиться простим розкриттям дужок:

куб суми

Запам'ятайте!

Куб суми двох чисел дорівнює кубу першого числа плюс утроенное твір квадрата першого числа на друге плюс утроенное твір першого на квадрат другого плюс куб другого.

Як запам'ятати куб суми

Запам'ятати цю «страшну» на вигляд формулу досить просто.

• Вивчіть, що на початку йде «a 3».
• Два багаточлена посередині мають коефіцієнти 3.
• Згадаймо, що будь-яке число в нульовому ступені є 1. (A 0 \u003d 1, b 0 \u003d 1). Легко помітити, що у формулі йде зниження ступеня «a» і збільшення ступеня «b». У цьому можна переконатися:
  (A + b) 3 \u003d a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Застереження!

куб різниці

Запам'ятайте!

куб різниці двох чисел дорівнює кубу першого числа мінус утроенное твір квадрата першого числа на друге плюс утроенное твір першого числа на квадрат другого мінус куб другого.

Запам'ятовується ця формула як і попередня, але тільки з урахуванням чергування знаків «+» і «-». Перед першим членом «a 3» стоїть «+» (за правилами математики ми його не пишемо). Значить, перед наступним членом стоятиме «-», потім знову «+» і т.д.

сума кубів

Не плутати з кубом суми!

Запам'ятайте!

сума кубів дорівнює добутку суми двох чисел на неповний квадрат різниці.

Сума кубів - це твір двох дужок.

• Перша дужка - сума двох чисел.
• Друга дужка - неповний квадрат різниці чисел. Неповним квадратом різниці називають вираз:
  (A 2 - ab + b 2)
  Даний квадрат неповний, тому що посередині замість подвоєного твори звичайне твір чисел.

різниця кубів

Не плутати з кубом різниці!

Запам'ятайте!

різниця кубів дорівнює добутку різниці двох чисел на неповний квадрат суми.

Будьте уважні при записі знаків.

Застосування формул скороченого множення

Слід пам'ятати, що всі формули, приведені вище, використовується також і справа наліво.

Багато прикладів в підручниках розраховані на те, що ви за допомогою формул зберете многочлен назад.

• a 2 + 2a + 1 \u003d (a + 1) 2
• (AС - 4b) (ac + 4b) \u003d a 2 c 2 - 16b 2

Таблицю з усіма формулами скороченого множення ви можете скачати в розділі «

вираз ( a + b) 2 - це квадрат суми чисел a і b. За визначенням ступеня вираження ( a + ba + b)(a + b). Отже, з квадрата суми ми можемо зробити висновки, що

(a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 ,

т. е. квадрат суми двох чисел дорівнює квадрату першого числа, плюс подвоєний добуток першого числа на друге, плюс квадрат другого числа.

формула квадрата суми

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

многочлен a 2 + 2ab + b 2 називається розкладанням квадрата суми.

Так як a і b позначають будь-які числа або вирази, то правило дає нам можливість скороченим шляхом зводити в квадрат будь-який вираз, яке може бути розглянуто як сума двох доданків.

Приклад. Піднести до квадрата вираз 3 x 2 + 2xy.

Рішення: щоб не робити додаткових перетворень, скористаємося формулою квадрата суми. У нас повинна вийти сума квадрата першого числа, подвоєного твори першого числа на друге і квадрата другого числа:

(3x 2 + 2xy) 2 = (3x 2) 2 + 2(3x 2 · 2 xy) + (2xy) 2

Тепер, користуючись правилами множення і зведення в ступінь одночленним, спростимо вийшло вираз:

(3x 2) 2 + 2(3x 2 · 2 xy) + (2xy) 2 = 9x 4 + 12x 3 y + 4x 2 y 2

квадрат різниці

вираз ( a - b) 2 - це квадрат різниці чисел a і b. вираз ( a - b) 2 являє собою добуток двох многочленів ( a - b)(a - b). Отже, з квадрата різниці ми можемо зробити висновки, що

(a - b) 2 = (a - b)(a - b) = a 2 - ab - ab + b 2 = a 2 - 2ab + b 2 ,

т. е. квадрат різниці двох чисел дорівнює квадрату першого числа, мінус подвоєний добуток першого числа на друге, плюс квадрат другого числа.

З правила випливає, що загальна формула квадрата різниці, Без проміжних перетворень, буде виглядати так:

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

многочлен a 2 - 2ab + b 2 називається розкладанням квадрата різниці.

Це правило застосовується до скороченим зведення в квадрат виразів, які можуть бути представлені як різниця двох чисел.

Приклад. Уявіть квадрат різниці у вигляді тричлена:

(2a 2 - 5ab 2) 2

Рішення: використовуючи формулу квадрата різниці, знаходимо:

(2a 2 - 5ab 2) 2 = (2a 2) 2 - 2(2a 2 · 5 ab 2) + (5ab 2) 2

Тепер перетворимо вираз в многочлен стандартного вигляду:

(2a 2) 2 - 2(2a 2 · 5 ab 2) + (5ab 2) 2 = 4a 4 - 20a 3 b 2 + 25a 2 b 4

різниця квадратів

вираз a 2 - b 2 - це різницю квадратів чисел a і b. вираз a 2 - b 2 являє собою скорочений спосіб множення суми двох чисел на їх різницю:

(a + b)(a - b) = a 2 + ab - ab - b 2 = a 2 - b 2 ,

т. е. добуток суми двох чисел на їх різницю дорівнює різниці квадратів цих чисел.

З правила випливає, що загальна формула різниці квадратів виглядає так:

a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)

Це правило застосовується до скороченим множенню таких виразів, які можуть бути представлені: одне - як сума двох чисел, а інше - як різниця тих же чисел.

Приклад. Перетворіть твір в двочлен:

(5a 2 + 3)(5a 2 - 3)

Рішення:

(5a 2 + 3)(5a 2 - 3) = (5a 2) 2 - 3 2 = 25a 4 - 9

У прикладі ми застосували формулу різниці квадратів справа наліво, тобто, нам дана була права частина формули, а ми перетворили її в ліву:

(a + b)(a - b) = a 2 - b 2

На практиці все три розглянуті формули застосовуються і зліва направо, і справа наліво, в залежності від ситуації.

Формули скороченого множення (ФСУ) застосовуються для зведення в ступінь і множення чисел і виразів. Часто ці формули дозволяють зробити обчислення більш компактно і швидко.

У даній статті ми перерахуємо основні формули скороченого множення, згрупуємо їх в таблицю, розглянемо приклади використання цих формул, а також зупинимося на принципах доказів формул скороченого множення.

Вперше тема ФСУ розглядається в рамках курсу "Алгебра" за 7 клас. Наведемо нижче 7 основних формул.

Формули скороченого множення

1. формула квадрата суми: a + b 2 \u003d a 2 + 2 a b + b 2
2. формула квадрата різниці: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
3. формула куба суми: a + b 3 \u003d a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. формула куба різниці: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. формула різниці квадратів: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
6. формула суми кубів: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
7. формула різниці кубів: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2

Літерами a, b, c в даних виразах можуть бути будь-які числа, змінні або вирази. Для зручності використання краще вивчити сім основних формул напам'ять. Зведемо їх в таблицю і наведемо нижче, обвівши рамкою.

Перші чотири формули дозволяють обчислювати відповідно квадрат або куб суми або різниці двох виразів.

П'ята формула обчислює різницю квадратів виразів шляхом твори їх суми та різниці.

Шоста і сьома формули - відповідно множення суми і різниці виразів на неповний квадрат різниці і неповний квадрат суми.

Формула скороченого множення іноді ще називають тотожністю скороченого множення. В цьому немає нічого дивного, так як кожне рівність являє собою тотожність.

При вирішенні практичних прикладів часто використовують формули скороченого множення з переставленими місцями лівими і правими частинами. Це особливо зручно, коли має місце розкладання многочлена на множники.

Додаткові формули скороченого множення

Не будемо обмежуватися курсом 7 класу з алгебри і додамо в нашу таблицю ФСУ ще кілька формул.

По-перше, розглянемо формулу бінома Ньютона.

a + b n \u003d C n 0 · a n + C n 1 · a n - 1 · b + C n 2 · a n - 2 · b 2 +. . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n

Тут C n k - біноміальні коефіцієнти, які стоять в рядку під номером n в трикутнику Паскаля. Біноміальні коефіцієнти обчислюються за формулою:

C n k \u003d n! k! · (N - k)! \u003d N (n - 1) (n - 2). . (N - (k - 1)) k!

Як бачимо, ФСУ для квадрата і куба різниці і суми - це окремий випадок формули бінома Ньютона при n \u003d 2 і n \u003d 3соответственно.

Але що, якщо доданків в сумі, яку потрібно звести в ступінь, більше, ніж два? Корисною буде формула квадрата суми трьох, чотирьох і більше доданків.

a 1 + a 2 +. . + A n 2 \u003d a 1 2 + a 2 2 +. . + A n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 +. . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 +. . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

Ще одна формула, яка може стати в нагоді - формула формула різниці n-их ступенів двох доданків.

a n - b n \u003d a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 +. . + A 2 b n - 2 + b n - 1

Цю формулу звичайно поділяють на дві формули - відповідно для парних і непарних ступенів.

Для парних показників 2m:

a 2 m - b 2 m \u003d a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 +. . + B 2 m - 2

Для непарних показників 2m + 1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 \u003d a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 +. . + B 2 m

Формули різниці квадратів і різниці кубів, як ви здогадалися, є окремими випадками цієї формули при n \u003d 2 і n \u003d 3 відповідно. Для різниці кубів b також замінюється на - b.

Як читати формули скороченого множення?

Дамо відповідні формулювання для кожної формули, але спочатку розберемося з принципом читання формул. Зручніше за все робити це на прикладі. Візьмемо найпершу формулу квадрата суми двох чисел.

a + b 2 \u003d a 2 + 2 a b + b 2.

Кажуть: квадрат суми двох виразів a і b дорівнює сумі квадрата першого виразу, подвоєного твори виразів і квадрата другого виразу.

Всі інші формули читаються аналогічно. Для квадрата різниці a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 запишемо:

квадрат різниці двох виразів a і b дорівнює сумі квадратів цих виразів мінус подвоєний добуток першого і другого виразу.

Прочитаємо формулу a + b 3 \u003d a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Куб суми двох виразів a і b дорівнює сумі кубів цих виразів, потроєного твори квадрата першого виразу на друге і потроєного твори квадрата другого виразу на перший вираз.

Переходимо до читання формули для різниці кубів a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Куб різниці двох виразів a і b дорівнює кубу першого виразу мінус утроенное твір квадрата першого виразу на друге, плюс утроенное твір квадрата другого виразу на перший вираз, мінус куб другого виразу.

П'ята формула a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (різниця квадратів) читається так: різниця квадратів двох виразів дорівнює добутку різниці і суми двох виразів.

Вирази типу a 2 + a b + b 2 і a 2 - a b + b 2 для зручності називають відповідно неповним квадратом суми і неповним квадратом різниці.

З огляду на це, формули суми і різниці кубів прочитав так:

Сума кубів двох виразів дорівнює добутку суми цих виразів на неповний квадрат їх різниці.

Різниця кубів двох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів на неповний квадрат їх суми.

доказ ФСУ

Довести ФСУ досить просто. Грунтуючись на властивостях множення, проведемо множення частин формул в дужках.

Для прикладу розглянемо формулу квадрата різниці.

a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

Щоб звести вираз в другу ступінь потрібно цей вислів помножити само на себе.

a - b 2 \u003d a - b a - b.

Розкриємо дужки:

a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

Формула доведена. Решта ФСУ доводяться аналогічно.

Приклади застосування ФСУ

Мета використання формул скороченого множення - швидке і коротке множення і зведення виразів в ступінь. Однак, це не вся сфера застосування ФСУ. Вони широко використовуються при скороченні виразів, скорочення дробів, розкладанні многочленів на множники. Наведемо приклади.

Приклад 1. ФСУ

Спростимо вираз 9 y - (1 + 3 y) 2.

Застосуємо формулу суми квадратів і отримаємо:

9 y - (1 + 3 y) 2 \u003d 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) \u003d 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 \u003d 3 y - 1 - 9 y 2

Приклад 2. ФСУ

Скоротимо дріб 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4.

Помічаємо, що вираз в чисельнику - різниця кубів, а в знаменнику - різниця квадратів.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.

Скорочуємо і отримуємо:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

Також ФСУ допомагають обчислювати значення виразів. Головне - вміти помітити, де застосувати формулу. Покажемо це на прикладі.

Зведемо в квадрат число 79. Замість громіздких обчислень, запишемо:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Здавалося б, складне обчислення проведено швидко всього лише з використанням формул скороченого множення і таблиці множення.

Ще один важливий момент - виділення квадрата двочлена. Вираз 4 x 2 + 4 x - 3 можна перетворити на вигляд 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 \u003d 2 x + 1 2 - 4. Такі перетворення широко використовуються в інтегруванні.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter