Яку величину називають неперервною. Розподілу неперервних випадкових величин

Безперервні випадкові величини -це величини, можливі значення яких утворюють деякий кінцевий або нескінченний інтервал.

Інтегральна функція розподілу є закон розподілу випадкової величини, за допомогою якого можна задавати як дискретну, так і безперервну випадкову величину.

Інтегральною функцією розподілуназивають функцію F (x), що визначає для кожного значення x ймовірність того, що випадкова величина X прийме значення менше х, тобто .

Геометрично це означає: F (x) є ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення, яке зображується на числової осі точкою, що лежить лівіше точки х.

Випадкова величинаназивається неперервною, якщо її інтегральна функція F (X) неперервно диференційовна.

Властивості інтегральної функції.

1 0. Значення інтегральної функції належать відрізку від 0 до1, тобто.

2 0. Інтегральна функція є функція неубутна, тобто, якщо, то .

наслідки:

1. Імовірність того, що СВ прийме значення, укладену в інтервалі (а; в) дорівнює приросту інтегральної функції на цьому інтервалі:

2. Імовірність того, що НСВ прийме одне конкретне значення дорівнює 0.

3. Якщо можливі значення НСВ розташовані на всій числовій прямій, то справедливі такі граничні відносини:

Графік інтегральної функції.

Графік інтегральної функції будують, виходячи з її властивостей. По першому властивості, графік розташований між прямими y = 0 і y = 1. з другого властивості слід, що - функція зростаюча, а значить її графік на проміжку (а, в) піднімається вправо і вгору. За 3 0 властивості при , А при (Рис.5).

Малюнок 5. Графік інтегральної функції.

Приклад 31.ДСВ задана законом розподілу


	0,2	0,5	0,3

Знайти інтегральну функцію розподілу і побудувати її графік.

1. Якщо, то по 3 0.

2. Якщо,.

3. Якщо,.

4. Якщо, то по 3 0.

Побудуємо графік інтегральної функції ДСВ (Ч) (рис.6).

Малюнок 6. Графік інтегральної функції для дискретної випадкової величини.

Диференціальна функція розподілу НСВ.

Існує ще один спосіб завдання НСВ, використовуючи диференціальну функцію розподілу.

диференціальноїфункцією розподілу називається функція рівна першої похідної інтегральної функції, тобто.

Диференціальну функцію розподілу по-іншому називають щільністю розподілу ймовірностей.

Теорема 17.Імовірність того, що НСВ Х прийме значення, що належить проміжку (а, в), дорівнює визначеному інтегралу від диференціальної функції, взятому в межах від а до в.

Приклад 32.НСВ задана інтегральною функцією розподілу

Знайти диференціальну функцію розподілу і ймовірність попадання НСВ в проміжок.

Рішення.

Властивості диференціальної функції розподілу.

1 0. Диференціальна функція є функція невід'ємна:.

2 0. (Умова нормування.) Невласний інтеграл від диференціальної функції в межах від -∞ до + ∞ дорівнює 1, тобто:

Зокрема, якщо всі можливі значення НСВ належать інтервалу (а, в), то

Приклад 33.

Знайти значення параметра а.

Зауважимо, що знаючи диференціальну функцію розподілу, можна знайти інтегральну функцію за формулою:

Приклад 34.НСВ задана диференціальною функцією розподілу:

знайти інтегральну функцію розподілу.

Рішення.

Числові характеристики НСВ.

Як відомо, випадковою величиною називається змінна величина, яка може приймати ті чи інші значення в залежності від випадку. Випадкові величини позначають великими літерами латинського алфавіту(X, Y, Z), а їх значення - відповідними малими літерами (x, y, z). розрізняють безперервні і дискретні випадкові величини .

Безперервною випадковою величиною називається випадкова величина Х, якщо її функція розподілу (інтегральна функція розподілу) подана в вигляді:

функція f(x) називається щільністю розподілу ймовірностей випадкової величини X (диференціальної функцією розподілу).

імовірність того, що неперервна випадкова величина X приймає значення в заданому проміжку, обчислюється таким чином:

Приклади розподілів ймовірностей неперервної випадкової величини Х:

рівномірний розподіл
показовий розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини;
нормальний розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини.

При вирішенні завдань широко використовують числові характеристики неперервних випадкових величин (таблиця 1).

Таблиця 1 - Числові характеристики неперервних випадкових величин

числова характеристика	Позначення і формула
*Математичне очікування*
Якщо всі можливі значення Х належать інтервалу (а, b), то математичне сподівання обчислюють
*дисперсія* неперервної випадкової величини Х
інакше
Якщо всі можливі значення Х належать інтервалу (а, b), то дисперсію обчислюють
інакше
*Середнє квадратичне відхилення* неперервної випадкової величини Х

Приклад рішення задачі по темі «Безперервні випадкові величини»

Завдання. Відома щільність ймовірності випадкової величини:

Знайти: а) параметр а; б) функцію розподілу F (x); в) ймовірність попадання X в інтервал (-π / 4; π / 4).
Побудувати графіки f (x), F (x).

Рішення. 1. Знаючи властивості щільності ймовірності - функції f (х), знайдемо невідомий параметр а. З нерівності f (х) ≥0, робимо висновок, що а≥0. далі:

Обчислимо даний інтеграл. Знаючи, що його значення має дорівнювати одиниці, висловимо а.

А - (- а) = 2а. Знаючи, що

отримуємо 2а = 1, звідси а = 1/2.

якщо х ≤ 0

якщо 0< х ≤ π, то

= ½ (-cosx + cos0) = ½ (1-cosx)

Якщо х> π, то

Шукана інтегральна функція приймає остаточний вигляд:

Графік функції F (x) представлений на малюнку 2.

3. Ймовірність влучення випадкової величини Х в інтервал (-π / 4; π / 4) знайдемо за формулою: P (a .
P (-π / 4< x < π/4) = F(π/4) - F(-π/4) = ½ (1-cos π/4) – 0 = ½ (1-½√2).

У теорії ймовірностей доводиться мати справу з випадковими величинами, все значення яких не можна перебрати. Наприклад, не можна взяти і «перебрати» все значення випадкової величини $ X $ - час служби годин, оскільки час може вимірюватися в годинах, хвилинах, секундах, миллисекундах, і т.д. Можна лише вказати деякий інтервал, в межах якого знаходяться значення випадкової величини.

Безперервна випадкова величина- це випадкова величина, значення якої цілком заповнюють деякий інтервал.

Функція розподілу неперервної випадкової величини

Оскільки перебрати всі значення безперервної випадкової величини не представляється можливим, то задати її можна за допомогою функції розподілу.

функцією розподілувипадкової величини $ X $ називається функція $ F \ left (x \ right) $, яка визначає ймовірність того, що випадкова величина $ X $ прийме значення, менше деякого фіксованого значення $ x $, тобто $ F \ left (x \ right ) = P \ left (X< x\right)$.

Властивості функції розподілу:

1 . $ 0 \ le F \ left (x \ right) \ le 1 $.

2 . Імовірність того, що випадкова величина $ X $ прийме значення з інтервалу $ \ left (\ alpha; \ \ beta \ right) $, дорівнює різниці значень функції розподілу на кінцях цього інтервалу: $ P \ left (\ alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$.

3 . $ F \ left (x \ right) $ - неубутна.

4 . $ (\ Mathop (lim) _ (x \ to - \ infty) F \ left (x \ right) = 0 \), \ (\ mathop (lim) _ (x \ to + \ infty) F \ left (x \ right) = 1 \) $.

приклад 1
0, \ x \ le 0 \\
x, \ 0< x\le 1\\
1, \ x> 1
\ End (matrix) \ right. $. Ймовірність влучення випадкової величини $ X $ в інтервал $ \ left (0,3; 0,7 \ right) $ можемо знайти як різниця значень функції розподілу $ F \ left (x \ right) $ на кінцях цього інтервалу, тобто:

$$ P \ left (0,3< X < 0,7\right)=F\left(0,7\right)-F\left(0,3\right)=0,7-0,3=0,4.$$

Щільність розподілу ймовірностей

Функція $ f \ left (x \ right) = (F) "(x) $ називається щільністю розподілу ймовірностей, тобто це похідна першого порядку, взята від самої функції розподілу $ F \ left (x \ right) $.

Властивості функції $ f \ left (x \ right) $.

1 . $ F \ left (x \ right) \ ge 0 $.

2 . $ \ Int ^ x _ (- \ infty) (f \ left (t \ right) dt) = F \ left (x \ right) $.

3 . Імовірність того, що випадкова величина $ X $ прийме значення з інтервалу $ \ left (\ alpha; \ \ beta \ right) $ - це $ P \ left (\ alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Геометрически это означает, что вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ равна площади криволинейной трапеции, которая будет ограничена графиком функции $f\left(x\right)$, прямыми $x=\alpha ,\ x=\beta $ и осью $Ox$.

4 . $ \ Int ^ (+ \ infty) _ (- \ infty) (f \ left (x \ right)) = 1 $.

приклад 2 . Безперервна випадкова величина $ X $ задана наступною функцією розподілу $ F (x) = \ left \ (\ begin (matrix)
0, \ x \ le 0 \\
x, \ 0< x\le 1\\
1, \ x> 1
\ End (matrix) \ right. $. Тоді функція щільності $ f \ left (x \ right) = (F) "(x) = \ left \ (\ begin (matrix)
0, \ x \ le 0 \\
1,\ 0 < x\le 1\\
0, \ x> 1
\ End (matrix) \ right. $

Математичне сподівання неперервної випадкової величини

Математичне сподівання неперервної випадкової величини $ X $ обчислюється за формулою

$$ M \ left (X \ right) = \ int ^ (+ \ infty) _ (- \ infty) (xf \ left (x \ right) dx). $$

приклад 3 . Знайдемо $ M \ left (X \ right) $ для випадкової величини $ X $ з прикладу $ 2 $.

$$ M \ left (X \ right) = \ int ^ (+ \ infty) _ (- \ infty) (xf \ left (x \ right) \ dx) = \ int ^ 1_0 (x \ dx) = (( x ^ 2) \ over (2)) \ bigg | _0 ^ 1 = ((1) \ over (2)). $$

Дисперсія неперервної випадкової величини

Дисперсія неперервної випадкової величини $ X $ обчислюється за формулою

$$ D \ left (X \ right) = \ int ^ (+ \ infty) _ (- \ infty) (x ^ 2f \ left (x \ right) \ dx) - (\ left) ^ 2. $$

приклад 4 . Знайдемо $ D \ left (X \ right) $ для випадкової величини $ X $ з прикладу $ 2 $.

$$ D \ left (X \ right) = \ int ^ (+ \ infty) _ (- \ infty) (x ^ 2f \ left (x \ right) \ dx) - (\ left) ^ 2 = \ int ^ 1_0 (x ^ 2 \ dx) - (\ left (((1) \ over (2)) \ right)) ^ 2 = ((x ^ 3) \ over (3)) \ bigg | _0 ^ 1 ( (1) \ over (4)) = ((1) \ over (3)) - ((1) \ over (4)) = ((1) \ over (12)). $$
Завдання 1. Щільність розподілу неперервної випадкової величини Х має вигляд:
знайти:
а) параметр A;
б) функцію розподілу F (x);
в) ймовірність попадання випадкової величини X в інтервал;
г) математичне сподівання MX і дисперсію DX.
Побудувати графік функцій f (x) і F (x).
завдання 2. Знайти дисперсію випадкової величини X, заданої інтегральною функцією.
завдання 3. Знайти математичне сподівання випадкової величини Х заданої функцією розподілу.
завдання 4. Щільність ймовірності деякої випадкової величини задана в такий спосіб: f (x) = A / x 4 (x = 1; + ∞)
Знайти коефіцієнт A, функцію розподілу F (x), математичне сподівання і дисперсію, а також ймовірність того, що випадкова величина прийме значення в інтервалі. Побудувати графіки f (x) і F (x).
завдання. Функція розподілу деякої неперервної випадкової величини задана в такий спосіб:
Визначити параметри a і b, знайти вираз для щільності ймовірності f (x), математичне сподівання і дисперсію, а також ймовірність того, що випадкова величина прийме значення в інтервалі. Побудувати графіки f (x) і F (x).

Знайдемо функцію щільності розподілу, як похідну від функції розподілу.
F '= f (x) = a
Знаючи, що знайдемо параметр a:

або 3a = 1, звідки a = 1/3
Параметр b знайдемо з наступних властивостей:
F (4) = a * 4 + b = 1
1/3 * 4 + b = 1 звідки b = -1/3
Отже, функція розподілу має вигляд: F (x) = (x-1) / 3
Математичне очікування.

дисперсія.

1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Знайдемо ймовірність того, що випадкова величина прийме значення в інтервалі
P (2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3
Приклад №1. Задана щільність розподілу ймовірностей f (x) неперервної випадкової величини X. потрібно:
Визначити коефіцієнт A.
знайти функцію розподілу F (x).
схематично побудувати графіки F (x) і f (x).
знайти математичне сподівання і дисперсію X.
знайти ймовірність того, що X прийме значення з інтервалу (2; 3).

f (x) = A * sqrt (x), 1 ≤ x ≤ 4.
Рішення:
Випадкова величина Х задана щільністю розподілу f (x):

Знайдемо параметр A з умови:

або
14/3 * A-1 = 0
Звідки,
A = 3/14

Функцію розподілу можна знайти за формулою.

функцією розподілувипадкової величини Хназивається функція F(х), Що виражає для кожного хймовірність того, що випадкова величина Хприйме значення, менше х:
.
функцію F(х) Іноді називають інтегральною функцією розподілу,або інтегральним законом розподілу.
Випадкова величина Хназивається безперервної, Якщо її функція розподілу неперервна в будь-якій точці і диференційована всюди, крім, можливо, окремих точок.
прикладибезперервних випадкових величин: діаметр деталі, яку токар обточує до заданого розміру, зріст людини, дальність польоту снаряда і ін.
Теорема.Імовірність будь-якого окремо взятого значення неперервної випадкової величини дорівнює нулю
.
Слідство.якщо Х- безперервна випадкова величина, то ймовірність попадання випадкової величини в інтервал
не залежить від того, є цей інтервал відкритим або закритим, тобто
Якщо неперервна випадкова величина Хможе приймати тільки значення в межах від адо b(де аі b- деякі постійні), то функція розподілу її дорівнює нулю для всіх значень
і одиниці для значень
.
Для неперервної випадкової величини
Всі властивості функцій розподілу дискретних випадкових величин виконуються і для функцій розподілу неперервних випадкових величин.
Завдання неперервної випадкової величини за допомогою функції розподілу не є єдиним.
щільністю ймовірності (щільністю розподілуабо щільністю) р(х) Неперервної випадкової величини Хназивається похідна її функції розподілу
.
щільність ймовірності р(х), Як і функція розподілу F(х), Є однією з форм закону розподілу, але на відміну від функції розподілу вона існує тільки для безперервнихвипадкових величин.
Щільність ймовірності іноді називають диференціальної функцією, або диференціальним законом розподілу.
Графік щільності ймовірності називається кривою розподілу.
властивостіщільності ймовірності неперервної випадкової величини:

Мал. 8.1

Мал. 8.2
4.
.
Геометрично властивості щільності ймовірності означають, що її графік - крива розподілу - лежить не нижче осі абсцис, і повна площа фігури, обмеженої кривою розподілу і віссю абсцис, дорівнює одиниці.
Приклад 8.1.Хвилинна стрілка електричного годинника пересувається стрибками щохвилини. Ви кинули погляд на годинник. вони показують ахвилин. Тоді для вас справжнє час в даний момент буде випадковою величиною. Знайти її функцію розподілу.
Рішення.Очевидно, що функція розподілу істинного часу дорівнює 0 для всіх
і одиниці для
. Час тече рівномірно. Тому ймовірність того, що даний час менше а+ 0,5 хв, дорівнює 0,5, так як однаково ймовірно, пройшло чи після аменше або більше півхвилини. Імовірність того, що справжнє час менше а+ 0,25 хв, дорівнює 0,25 (ймовірність цього часу втричі менше ймовірності того, що справжнє час більше а+ 0,25 хв, а сума їх дорівнює одиниці, як сума ймовірностей протилежних подій). Аналогічно розмірковуючи, знайдемо, що ймовірність того, що даний час менше а+ 0,6 хв, дорівнює 0,6. У загальному випадку ймовірність того, що даний час менше а + + α хв
, дорівнює α . Отже, функція розподілу істинного часу має такий вираз:
Про на неперервна всюди, а похідна її неперервна в усіх точках, за винятком двох: х = аі х = а+ 1. Графік цієї функції має вигляд (рис. 8.3):
Мал. 8.3
Приклад 8.2.Чи є функцією розподілу деякої випадкової величини функція
Рішення.
Всі значення цієї функції належать відрізку
, Тобто
. функція F(х) Є неубивающей: в проміжку
вона постійна, дорівнює нулю, в проміжку
зростає, в проміжку
також постійна, дорівнює одиниці (див. рис. 8.4). Функція неперервна в кожній точці х 0 області її визначення - проміжку
, Тому неперервна зліва, тобто виконується рівність

,
.
Виконуються і рівності:

,
.
Отже, функція
задовольняє всім властивостям, характерним для функції розподілу. Значить ця функція
є функцією розподілу деякої випадкової величини Х.
Приклад 8.3.Чи є функцією розподілу деякої випадкової величини функція
Рішення.Ця функція не є функцією розподілу випадкової величини, так як напромежутке вона убуває і не є безперервною. Графік функції зображений на рис. 8.5.
Мал. 8.5
Приклад 8.4.Випадкова величина Хзадана функцією розподілу
знайти коефіцієнт аі щільність ймовірності випадкової величини Х. Визначити ймовірність нерівності
.
Рішення.Щільність розподілу дорівнює першої похідної від функції розподілу
коефіцієнт авизначаємо за допомогою рівності
,
.
Той же результат можна було отримати, використовуючи безперервність функції
в точці

,
.
отже,
.
Тому щільність ймовірності має вигляд
імовірність
попадання випадкової величини Хв заданий проміжок обчислюється за формулою
Приклад 8.5.Випадкова величина Хмає щільність ймовірності (закон Коші)
.
знайти коефіцієнт аі ймовірність того, що випадкова величина Хприйме якесь значення з інтервалу
. Знайти функцію розподілу цієї випадкової величини.
Рішення.знайдемо коефіцієнт аз рівності
,
отже,
.
Отже,
.
Імовірність того, що випадкова величина Хприйме якесь значення з інтервалу
, дорівнює
Знайдемо функцію розподілу даної випадкової величини
П ример 8.6.Графік щільності ймовірності випадкової величини Хзображений на рис. 8.6 (закон Сімпсона). Написати вираз щільності ймовірності іфункцію розподілу цієї випадкової величини.
Мал. 8.6
Рішення.Користуючись графіком, записуємо аналітичний вираз щільності розподілу ймовірностей даної випадкової величини
Знайдемо функцію розподілу.
якщо
, то
.
якщо
, То.
якщо
, то
якщо
, то
Отже, функція розподілу має вигляд