Теореми встановлюють зв'язок між паралельною прямих і. Теореми, що встановлюють зв'язок між паралельною

«Перпендикулярні прямі 6 клас» - М. Пряма b проходить через точку М, що лежить на прямій а. Урок 1 6 клас. Перпендикулярні прямі.

«Перпендикулярність» - Визначення. 4. Завдання 3. Доведіть, що трикутник ЄДС прямокутний і знайдіть АЕ. Е. Отже, приступимо до справи! Теореми. А. Ілюстраціями яких теорем могли б бути наступні картинки? 3. Завдання 2Слайд 16. 5. Завдання 4. С. Ознака перпендикулярності прямої і площини! Перпендікулярность.Решеніе завдань.

«Перпендикулярність в просторі» - a. Виконав: І. У просторі. Прямий. За умовою b || а, а з побудови а || МА, тому b || МА. Перпендикулярні прямі. Мал. 2. Доведемо лему про перпендикулярність двох паралельних прямих до третьої прямий.

«Ознака перпендикулярності двох площин» - Відповідь: Так. Оскільки пряма a перпендикулярна площині ?, то кут, утворений a і b, прямий. Площина? перпендикулярна площині ?. Чи буде будь-яка пряма площини? перпендикулярна площині ?? Вправа 7. Вправа 8. Вправа 4. Площина і пряма паралельні. Перпендикулярність площин.

«Перпендикулярність в просторі геометрія» - a. муніципальне освітній заклад - середня загальноосвітня школа № 4 м Черепанова. Завдання: Лемма про перпендикулярність прямих. Мета: Проаналізувати різні джерела з даної теми. Методи дослідження: Виділити основні підходи до розгляду перпендикулярності в просторі. Познайомитися з перпендикулярністю в просторі.

«Пряма перпендикулярна площині» - Лінії перетину стін по відношенню до площини підлоги і т.д. Перпендикулярні прямі в просторі. Непокосівшійся телеграфний стовп стоїть прямо, тобто перпендикулярно до площини землі. Перпендикулярні прямі можуть перетинатися і можуть бути схрещуються. Перпендикулярність прямих і площин. Опр.

Всього в темі 20 презентацій

Мета уроку:

1) закріпити питання теорії по темі «Перпендикулярність прямої і площини»;

2) виробити навички вирішення основних типів завдань на перпендикулярність прямої і площини.

Хід уроку

I. Організаційний момент

Повідомити тему і план уроку.

II. Актуалізація знань учнів

1) Теоретичне опитування.

Сформулювати і довести теорему про прямий, перпендикулярної до площини (підготуватися біля дошки одному з учнів, потім заслухати його відповідь усім класом).

2) Індивідуальні письмові завдання:

Довести теорему про перпендикулярність двох паралельних прямих до третьої (1 учень);

Довести теорему, що встановлює зв'язок між паралельною прямих і їх перпендикулярністю до площини (1 учень);

Довести теорему, зворотний до теоремі, яка встановлює зв'язок між паралельною прямих і їх перпендикулярністю до площини (1 учень);

Довести ознака перпендикулярності прямої і площини (1 учень).

3) самостійне виправлення задач за готовими кресленнями з подальшою перевіркою і обговоренням в разі потреби.

I рівень: № 1, 2, 5.

II рівень: № 3, 4, 6.

Точка М лежить поза площиною ABC.

1. Рис. 1. Довести: пряма АС перпендикулярна площині АМВ.

2. Рис. 2. BMDC - прямокутник. Довести: пряма CD перпендикулярна площині ABC.

3. Рис. 3. ABCD - прямокутник. Довести: AD ⊥ АМ.

Рішення до завдань 1-6.

4. Рис. 4. Довести: ВС ⊥ DE.

5. Рис. 5. ABCD - паралелограм. Довести: пряма МО перпендикулярна площині ABC.

6. Рис. 6. ABCD - ромб. Довести: пряма BD перпендикулярна площині АМС.

Доведення:

AC ⊥ АВ (за умовою), AC ⊥ AM (за умовою),

Доведення:

Так як BMDC - прямокутник, то ∠MBC \u003d 90 °, значить,

MB ⊥ (ABC) (за ознакою перпендикулярності прямої і площини).

MB || DC (по властивості сторін прямокутника). Отже, DC ⊥ (ABC) (по теоремі про зв'язок між паралельністю прямих і їх перпендикулярністю до площини).

Доведення:

1) Так як ABCD - прямокутник, то ∠ABC \u003d 90 °, значить, ВС ⊥ АВ, АВ ⊂ (АВМ)

ВС ⊥ (АМВ) (за ознакою перпендикулярності прямої і площини).

2) BC || AD (по властивості сторін прямокутника). Отже, AD ⊥ (AMB) (по теоремі про зв'язок між паралельністю прямих і їх перпендикулярністю до площини).

3) AD ⊥ AM (за визначенням прямої, перпендикулярної площині).

№ 4 (рис. 7)

Доказ: Так як ΔСМВ - рівнобедрений (за умовою) і MD - висота, то MD - медіана (по властивості висоти рівнобедреного трикутника).

Значить, CD \u003d BD (за визначенням медіани).

1) Так як ΔAВС - рівнобедрений (за умовою) і AD - медіана (за визначенням), то AD висота (по властивості медіани рівнобедреного трикутника). Значить, ВС ⊥ AD.

2) ВС ⊥ (AMD) (за ознакою перпендикулярності прямої і площини).

3) ВС ⊥ DE (за визначенням прямої, перпендикулярної площині).

Доведення:

1) AC ∩ BD \u003d О; АТ \u003d ОС, ВО \u003d OD (по властивості діагоналей паралелограма).

2) ΔBMD - рівнобедрений (за умовою) і МО - медіана (за визначенням), значить, МО - висота (по властивості медіани рівнобедреного трикутника).

Отже, МО ⊥ BD.

3) В ΔАМС: МО ⊥ АС (доводиться аналогічно п. 2).

4) МО ⊥ (AВС) (за ознакою перпендикулярності прямої і площини).

№ 6 (рис. 8)

Доказ: AC ⊥ BD і АТ \u003d ОС, ВО \u003d OD (по властивості діагоналей ромба). ΔBMD - рівнобедрений (за умовою) і МО - медіана (за визначенням), значить, МО висота (по властивості медіани рівнобедреного трикутника).

Отже, МО ⊥ BD.

(За ознакою перпендикулярності прямої і площини).

III. Розв'язання задач

Рішення письмово на дошці і в зошитах завдання № 130 (докладний рішення в підручнику), № 134 (з допомогою вчителя), до дошки викликати сильного учня.

(Перш ніж приступати до вирішення завдання, повторити поняття: відстань між двома точками і відстань від точки до прямой.Сформуліровать визначення цих понять.)

Дано: ABCD - квадрат; MB - пряма (Рис. 9).

Знайти: а) МА, MD, МС; б) ρ (М; АС), ρ (М; BD).

1) АВ \u003d ВС \u003d CD \u003d AD \u003d n (по властивості сторін квадрата).

2) ΔАВМ і ΔСВМ - прямокутні, так як ∠MBA \u003d ∠МВС \u003d 90 °.

По теоремі Піфагора: Отримаємо,

3) Так як BD - діагональ квадрата, то

4) Так як ∠MBA \u003d ∠MBC \u003d 90 °, то

MB ⊥ (ABC) (за ознакою перпендикулярності прямої і площини). Значить, MB ⊥ BD, BD ⊂ (ABC) (за визначенням прямої, перпендикулярної площині).

5) ΔMBD - прямокутний (т. К. MB ⊥ BD, то ∠MBD \u003d 90 °). По теоремі Піфагора:

6) ρ (M; BD) \u003d MB (за визначенням відстані від точки до прямої). Значить, ρ (М; BD) \u003d m.

7) АТ \u003d ОС, ВО \u003d OD (по властивості діагоналей квадрата). Так як то ΔAMC - рівнобедрений (за визначенням) і МО - медіана (за визначенням), значить, МО - висота (по властивості медіани рівнобедреного трикутника, проведеної до його основи). Отже, МО ⊥ АС.

Äанний параграф присвячений встановленню зв'язків між паралельною і перпендикулярністю прямих і площин, широко застосовуваних у геометрії і її додатках.

Про існування зв'язків між паралельною і

Перпендикулярністю в просторі свідчить наш досвід. Дійсно, стовпи, встановлені вертикально, паралельні між собою (рис. 394); паралельні вертикально спрямовані льодові бурульки (рис. 395), вертикаль

ні колони, що прикрашають споруди (рис. 396), і т. п.

Добре відомо зміст аналогічних зв'язків в планіметрії: два перпендикуляра до однієї прямої паралельні між собою, і навпаки, пряма, перпендикулярна одній з двох паралельних прямих, перпендикулярна і другий. Однак для прямих в просторі ці твердження не завжди виконуються (спробуйте самі привести відповідні приклади). Разом з тим можна вивчати ситуації, пов'язані з паралельною і перпендикулярністю прямих і площин в просторі.

Розглянемо детальніше зв'язок між паралельною прямих і перпендикулярністю їх площині. Ці зв'язки відображають відносини між реальними об'єктами, якими ми пользу-

Теорема 1 (про двох паралельних прямих, одна з яких перпендикулярна площині).

Якщо одна з двох паралельних прямих перпендикулярна площині, то і друга пряма перпендикулярна цій площині.

Наведена теорема є ознакою перпендікулярнос- ти прямої і площини, тобто з її допомогою встановлюють пер- пендікулярность прямої і площини. Її широко використовують не тільки в геометрії, а й у практичній діяльності. Спорудження стін будівлі з

використанням схилу є яскравою іл люстрацією застосування цієї ознаки перпендикулярності прямої і площини. Дійсно, нитка схилу розташована вертикально, і якщо кромка споруди паралельна нитки, то вона також вертикально (рис. 398).

Розгляд теореми 1 природно породжує питання: чи будуть паралельні дві прямі, перпендикулярні одній плоскос- ти? Відповідь на нього нам підказує досвід (два вертикально установлених стовпа - паралельні!), І він підтверджується сліду- ющей теоремою, зворотної теоремі 1.

Теорема 2 (про паралельність прямих, перпендикулярних площині).

Еслідве прямі перпендикулярні однойітойжеплоскості, то вони паралельні.

Наведена теорема також є ознакою. З її допомогою на гою встановлюють паралельність прямих в просторових конструкціях. Адже вертикальність або перпендикулярність

Связьмеждупараллельностьюіперпендікулярностьюпрямихіплоскостей 391

площині іноді легше перевірити (особливо на громіздких об'єктах), ніж паралельність. Йдеться, наприклад, про располо- жении поперечних балок при спорудженні стелі будівлі, рас пізнавання паралельності прямих в геометричних конфігу- раціях і ін.

Не менш важливими в геометрії і її додатках є зв'язки між паралельною площин і їх перпендикулярно ністю прямий. Мова йде про двох площинах і одній прямій. Якщо дві площини паралельні і одна з них перпендикулярна прямий, то як буде розташована друга площина по отноше- нию до цієї прямої? Як розташовані дві площини, якщо вони обидві перпендикулярно

ни прямий? Відповіді на ці питання також нам підказує досвід практичної діяльності. Якщо вбити цвях в дошку перпендикулярно одній стороні дошки, то він буде перпендикулярний і противопо- помилковою (рис. 399). Якщо на вісь колісної пари насадити колеса з обох сторін так, щоб їх площині були перпендикулярно ними осі, то площини цих коліс будуть паралельні (рис. 400).

Сформулюємо два взаємно зворотних затвердження, отражаю- щие зв'язок між паралельною площин і їх перпендіку- лярностью прямий.

Теорема 3 (про паралельних площинах, одна з яких пер пендікулярна прямий).

Якщо одна з двох паралельних площин перпендикулярна прямий, то і друга площина перпендикулярна цій же прямій.

Теорема 4 (про двох площинах, перпендикулярних прямої).

Якщо дві площини перпендикулярні одній прямій, то вони паралельні.

Привертає увагу спорідненість наведених двох пар теорем. Кожну з них можна сформулювати, замінивши термін «пря травня» на «площину», і навпаки.

Теореми 3 і 4 також є ознаками.

392 Перпендикулярність прямих і площин

Ознака перпендикулярності прямої і площини (теорема 3) ілюструється рас становищем опорних колон щодо підлоги і стелі. Якщо площині стелі та підлоги паралельні, то колону достаточ- але поставити перпендикулярно підлозі, щось

б вона була перпендикулярна і стелі

Практичну цінність ознаки, вираженого в теоремі 4, ілюструє транспортування залізобетонної пря моугольной плити в горизонтальному по- додатку за допомогою крана. Для цього ви-

товують чотири однакових троса, кінці яких закріплені в точках А 1, А 2, А 3, А 4

плити і з гаком в точці S (рис. 402). за

кільки плита висить вільно, то трос, на якому закріплений гак, перпендикулярний поверхні землі і розташований на прямій, що проходить через центр мас плити (для однорідної плити). Якщо знехтувати товщиною плити, то її центр знаходиться на перетині діагоналей прямокутника А 1 А 2 А 3 А 4. Оскільки SA 1 \u003d SA 2 \u003d SA 3 \u003d \u003d SA 4, то пряма, що з'єднує точку S з точкою перетину діаго- налий, перпендикулярна площині плити (завдання 1 §18). Тому, відповідно до теореми 4, плита розташована горизонтально.

Наведені приклади не вичерпують усього розмаїття застосувань розглянутих ознак при вирішенні практічес- ких завдань. Важливими є дані ознаки і для подальші- ного поглиблення геометричних знань.

Связьмеждупараллельностьюіперпендікулярностьюпрямихіплоскостей 393

П р и м і р 1. З вершини A квадрата ABCD проведено відрізок AM, перпендикулярний площині ABC. побудувати:

1) площину, що проходить через точку M перпендикулярно пря мій АС;

2) пряму, що проходить через середину відрізка MC перпендіку- лярні площини ABC.

 Изобразим умову прикладу на рис. 404, а.

1) Розглянемо площину МАС. За умовою, пряма МА пер- пендікулярна прямий АС. Для побудови шуканої площини досить провести через точку А ще одну пряму, перпенді- кулярную прямий АС. Оскільки пряма BD перпендикулярна прямий АС, то шукана пряма повинна бути паралельною прямій BD.

Побудова. Через точку А проведемо пряму Аk, паралель- ву прямій BD (рис. 404, б). Вона перпендикулярна прямий АС. Площина МАK перпендикулярна прямий АС, за ознакою пер- пендікулярності прямої і площини (теорема 1 § 18).

2) Нехай N - середина відрізка МС (рис. 405, а). Шукана пряма параллельнапрямойМА, потеоремеопараллельностіпрямих, пер пендікулярних площині (теорема 2). Це - необхідна умова.

Воно й досить, по теоремі про двох паралельних прямих, одна з яких перпендикулярна площині (теорема 1).

Побудова. Через точку N проведемо пряму, паралельну прямий МА (рис. 405, б). Точка її перетину О з площиною квадрата є центром квадрата, оскільки пряма NО ле- жит у площині МАС і проходить через середину відрізка АС (по теоремі Фалеса). ■

Розглянемо доказ наведених теорем про зв'язки між паралельною і перпендіку- лярностью прямих і площин. Зазначена зв'язок між двома парами теорем і між собою в парах

дозволяє сподіватися, що доказ однієї з теорем облег- чит доказ інших. Почнемо з теореми 1. Запишемо її в знакосімвольной формі.

Теорема 1. Дано: а 1 || а 2, а 1 α.

Довести: а 2 α.

 Для доведення теореми скористаємося ознакою пер-

пендікулярності прямої і площини.

Позначимо через О 1 точку перетину прямої а 1 і плоскос- ти α. Згідно з теоремою про перетин площині паралельними прямими (теорема 6 § 8), пряма а 2, паралельна прямій а 1, також перетинає площину α в деякій точці О2 (рис. 406, а).

Візьмемо на прямих а 1 і а 2 точки А 1 і А 2 по одну сторону від площини α так, щоб відрізки О1 А 1 і О 2 А 2 були рівними. Чоти- рехугольнік О 1 А 1 А 2 О 2 (рис. 406, б) є паралелограма, так як О 1 А 1 || О 2 А 2, О 1 А 1 \u003d О 2 А 2. Аналогічно будуємо параллело грам О 1 В 1 В 2 О 2 для довільного напрямку в площині α. Для цього через точки О 1 і О 2 в площині α проведемо довільної ні паралельні прямі, на яких вибираємо точки В1 і В2 аналогічно вибору точок А 1 і А 2 (рис. 406, в).

Связьмеждупараллельностьюіперпендікулярностьюпрямихіплоскостей 395

З наведених побудов випливає, що чотирикутник А 1 В 1 В 2 А 2 є паралелограма. Дійсно, отрез- ки А 1 А 2 і В 1 В 2 - паралельні і рівні, за властивостями транзі- тивности відносин паралельності прямих і рівності довжин

(A 1A 2 || Про 1О 2, O 1O 2 || B 1B 2, A 1A 2 \u003d О 1О 2, O 1O 2 \u003d B 1B 2).

А тепер розглянемо трикутники А 1 О 1 В 1 і А 2 О 2 В 2. Вони рівні потрёмсторонам: А 1 О 1 \u003d А 2 О 2, О 1 В 1 \u003d О 2 В 2, попостроенію, А 1 В 1 \u003d А 2 В 2 як протилежні сторони паралелограма. Тому рівні відповідні кути цих трикутників, зокрема, А 1 О 1 В 1 \u003d \u003d А 2 О 2 В 2. Але кут А 1 О 1 В 1 по умові - прямий. Тому прямим буде і кут А 2 О 2 В 2. А це означає, що пряма а 2 перпендикулярна кожної прямої площині α, що проходить через точку О 2. За визна лення, вона перпендикулярна площині α. ■

Теорема 2. Дано: а 1 α, а 2 α.

Довести: а 1 || а 2.

 Нехай прямі а 1 і а 2 перпендикулярні площині α, О 1, О 2 - точки їх перетину з площиною α (рис. 407, а). Через точку О 2 проведемо пряму b, паралельну прямій а 1 (рис. 407, б). За те- Оремі 1, b α. Якщо пряма b не збігається з прямою а 2, то через них можна провести площину β, що перетинає площину α по прямій с (рис. 407, в). Прямі а 2 і b перпендикулярні прямий с, за визначенням перпендикулярності прямої і площини. Одна-ко в площині через дану точку можна провести лише одну пряму, перпендикулярну даної прямий. Отримане проти- воречие означає, що прямі а 2 і b збігаються, тобто а 1 || а 2. ■

Доказ теорем 3 і 4 проводиться за такою ж схемою, що і доведення теорем 1 і 2 відповідно. Зробіть це само- стоятельно, користуючись зазначенням, наведеним після формулі- ровок теорем 3 і 4.

Важностьрассмотреннихтеоремдлястереометріііеепріложе- ний, як уже зазначалося, пов'язана з тим, що кожна з них являє- ся ознакою: перша і третя - ознаками перпендикулярності прямої і площини, друга - ознакою паралельності прямих, четверта - ознакою паралельності площин. Цим самим розширюються наші можливості при вивченні взаємного розта- вання прямих і площин, проведенні побудов.

Узагальненням результату завдання 1 є наступна тео- рема.

Теорема 5 (про прямий, перпендикулярної даній площині).

Через довільну точку простору проходить пряма, перпендикулярна даній площині, і до того ж тільки одна.

 Перша частина теореми про існування такої прямої обгрунтована в рішенні задачі

1. Для доказу єдиності та- кою прямий допустимо противне, а саме:

через деяку точку А проходять дві раз- особисті прямі а 1 і а 2, перпендикулярні площині α (рис. 408). По теоремі 2, вони па- паралельно, тобто не мають спільних точок.

Це протиріччя і доводить утвержде- ня. ■

Аналогічне узагальнення має і результат завдання 2 попе- ного параграфа.

Теорема 6 (про площині, перпендикулярній даної прямий).

Черезлюбуюточкупространствапроходітплоскость, перпендикулярна даній прямій, і до того ж тільки одна.

 Існування такої площини обос- Нова в рішенні задачі 3 попереднього параграфа. Залишилося довести єдність- ність площині, що задовольняє услови- ям теореми. Як завжди в таких випадках, припустимо противне, а саме: через дан

Связьмеждупараллельностьюіперпендікулярностьюпрямихіплоскостей 397

ву точку А проходять дві різні площини α1 і α2, перпенді- кулярние прямий а (рис. 409). По теоремі 4, вони паралельні. Але ці площини мають спільну точку А. Отримане протиріччя і доводить твердження. ■

П р и м і р 2. З вершини А квадрата аbсd проведена пряма, перпендикулярна площині квадрата, і на ній взята точка S. побудувати:

1) пряму, що проходить через центр Про квадрата перпендіку- лярні його площині;

2) площину, що проходить через середину Р відрізка АS перпен- дікулярно йому;

3) площину, що проходить через точку А перпендикулярно пря мій BD;

4) пряму, що проходить через точку А перпендикулярно плос- кістки SBD.

 1) За умовою, пряма AS перпендикулярна площині квад- рата. Будь-яка інша пряма, перпендикулярна цій площині, буде паралельна прямий AS, по теоремі 2, тобто паралель- ність прямої AS є необхідною умовою перпендіку- лярность шуканої прямої площині. Вона є і достатньою ним умовою, за теоремою 1.

Побудова. Через точку Про прово дім пряму ОЕ паралельно прямий АS (рис. 410). Пряма ОЕ перпендикулярна площині квадрата, по теоремі про двох па-

паралельно прямих, одна з яких пер пендікулярна площині.

2) Поусловію, прямаяАS перпендикулярно

на площині АBCD. Будь-яка інша площина, перпендикулярна прямий АS, буде паралельній площині ABCD, по теоремі 4. Паралельність шуканої площини площині ABCD є, по теоремі 3, і достатньою умовою.

Побудова. Проведемо через точку Р площину, паралельну площині ABCD.

Для цього через точку Р проведемо прямі

РK і РL, паралельні прямим АD і АВ відповідно (рис. 411). площина РKL

паралельна площині АBCD, по призна- ку паралельності площин, а тому

є шуканої.

398 Перпендикулярність прямих і площин

3) Діагоналі квадрата перпендикулярні, тобто ВО АТ (див. Рис. 410). Тому пряма АТ лежить в шуканої площини. Якщо через точку Про провести ще одну пряму ОЕ, перпендикулярні до ВО, то пряма ВО буде перпендикулярної площині АОЄ, за ознакою перпендикулярності прямої і площини (тео- рема 1 §18). Ця площина містить точку А.

Побудова. Проведемо через точку Про пряму ОЕ, паралельну прямий АS. Вона буде перпендикулярної площині АBCD (рис. 412). Пряма ОЕ перпендикулярна

прямий ВО, за визначенням перпендіку- лярность прямої і площини. Площина АОЄ є шуканої.

4) Розглянемо трикутники ABD і SBD

(Рис. 413, а). Вони рівнобедрені, так як

А D \u003d АВ, за умовою, а рівність SB \u003d SD випливає з рівності прямокутних трикутників ASD і ASB. Їх медіани SO і АТ є висотами, а тому пряма BD перпендикулярна площині AOS, за ознакою перпендикулярності прямої і площини (теорема 1). У прямокутному трикутнику AOS з вершини пря- мого кута А проведемо висоту АЕ (рис. 413, б). Пряма АЕ є шуканої. Дійсно, проведемо в площині SBD через точку Е пряму EF паралельно прямий BD. Ця пряма буде перпен- дікулярной площині AOS, по теоремі 1. А це означає, що вона перпендикулярна прямій AE. За ознакою перпендикулярності прямої і площини (теорема 1 § 18), пряма AE перпендикулярно на площині SBD. ■

Связьмеждупараллельностьюіперпендікулярностьюпрямихіплоскостей 399

9 9 Контрольні питання

1. Чи вірно, що дві прямі, перпендикулярні деякій площині, лежать в одній площині?

2. Чи можуть два бічних ребра піраміди бути перпендикуляр- ними площині основи піраміди?

3. Чи можна провести пряму, перпендикулярну двом Перес- каються площинах?

4. Чи існує взаємозв'язок між розташуванням ніжок сто- ла щодо його поверхні і статі, на якому він сто ит?

5. Чи існує перетин куба площиною, перпендикулярної рівно двом його ребрах?

6. Чи можна провести площину, перпендикулярну одночасним- Саме двом перехресних прямих?

7. Чому льодові бурульки, що звисають з даху навесні, можна вважати паралельними між собою (нехтуючи їх товщі- ної)?

8. На стелі закріплений гак. За допомогою канатів необхідно підвісити до нього платформу так, щоб її площину була го- -різонтального. Як це зробити?

9. Чи можна через дану точку простору провести три вза- імно перпендикулярні прямі? А чотири?

10. Скільки різних площин визначають чотири прямі, перпендикулярні одній площині?

графічні вправи

400 Перпендикулярність прямих і площин

2. На рис. 415 зображений правильний трикутник ABC, O - його центр, OS -

відрізок, перпендикулярний площині трикутника, точки M, N - соответс- твенно середини сторін АВ, ВС. вуста-

новіте взаємне розташування: 1) прямий АВ і площині SOC;

2) прямий MN і площині SOB;

3) прямий АС і площині MNS.

3. На рис. 416 зображено коло з центром О, АВ і CD - його взаємно перпенді-

кулярние діаметри, МВ - дотична до кола, OK, BL - рівні відрізки,

перпендикулярні площині кола. Ус- Танова взаємне розташування:

1) прямий BL і площині AOC;

2) прямий BM і площині LOK;

3) прямий BM і площині COK;

4) прямий KL і площині DOK;

5) площин DOK і MBL;

6) прямий BK і площині CLD.

4. Побудуйте малюнок за наведеними даними.

1) Площина, що проходить через реброАВ правильного тетра ЕДРА SABC, перпендикулярна ребру SC.

2) Через точку М, що лежить на діагоналі АС правильної че- тирехугольной піраміди SABCD, проходить площину, пер пендікулярная АС.

407. З вершини прямого кутаЗ рівнобедреного прямоуголь- ного трикутника ABC проведена пряма, перпендикулярно ная площині цього трикутника, і на ній взята точка S. побудуйте:

1 °) площину, що проходить через точку S перпендикулярно прямий AB;

2 °) пряму, що проходить через середину відрізка AS перпен- дікулярно площині ABC;

3 °) площину, що проходить через точку A паралельно плос- кістки BCS;

Связьмеждупараллельностьюіперпендікулярностьюпрямихіплоскостей 401

4) пряму, що проходить через точку C перпендикулярно площині ABS, якщо AC \u003d 2 3 CS.

408. ІзсередіниK гіпотенузиBC равнобедренногопрямоуголь- ного трикутника ABC проведена пряма, перпендикулярно ная площині цього трикутника, і на ній взята точка M. Побудуйте:

1 °) площину, що проходить через точку M перпендикулярно прямій AC;

2 °) пряму, що проходить через середину відрізка AM пер- пендікулярно площині ABC;

3 °) площину, що проходить через точку A паралельно плос- кістки BCM;

4) площину, що проходить через точку K перпендикулярно прямий AM, якщо MK \u003d CK.

409. З центру Про правильного трикутника АВС проведена пряма, перпендикулярна площині трикутника, і на ній взята точка S. Побудуйте:

1 °) площину, що проходить через точку О перпендикулярно прямий ВС;

2 °) пряму, що проходить через середину відрізка AS перпен- дікулярно площині АВС;

3) площину, що проходить через середину відрізка AS пер- пендікулярно прямий OS;

4 *) пряму, що проходить через точку А перпендикулярно площині BCS.

410. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. побудуйте:

1 °) пряму, що проходить через центр межіA1 B1 C1 D1 пер - пендікулярно протилежній грані; 2 °) площину, що проходить через вершинуА перпендіку - лярні діагоналі BD;

3) пряму, що проходить через центр межі АА 1 В 1 В перпен- дікулярно площині ВDD 1;

4 *) площину, що проходить через точку D перпендикулярно прямий ВD 1.

411. У тетраедра SАBС всі грані - правильні трикутники, точка О - центр АВС, D - середина ребра ВС, точка N при- належить ребру SА.

1 °) Визначте взаємне розміщення прямої SO і плос- кістки АВС.

2 °) Визначте взаємне розміщення прямої ВС і плос- кістки ASD.

3) Проведіть через точку N пряму, перпендикулярну межі АВС.

4 *) Побудуйте переріз тетраедра площиною, що проходить через точку N перпендикулярно прямий ОS.

412 °. Два електричних дроти необхідно протягнути від стовпа висотою 7 м до будівлі висотою 4 м. Скільки потрібно мати дроти, якщо відстань від будівлі до стовпа дорівнює 10 м і на провисання проводу потрібно додати 3% від його розрахункової довжини?

413. Сторожова вежа для охорони ділянки прямокутної фор- ми встановлена \u200b\u200bв одній з вершин прямокутника. Рассто- яния від спостерігача, що стоїть на башті, до інших вер- шин прямокутника рівні а, b, с, причому а\u003e b\u003e с. Чому дорівнює висота вежі?

414. Три паралельні прямі а, b, з не лежать в одній плос- кістки. Через точку М, що лежить на прямій а, проведені перпендикуляри до прямих b і с, які перетинають їх, від- повідно, в точках Р і Q. Доведіть, що пряма РQ пер- пендікулярна прямим b і с.

415. Через точку О, що знаходиться на висоті СD трикутника аbс, проведено перпендикуляр ОМ до його площини. Дока- житі, що площина, що проходить через прямі СD і ОМ, перпендикулярна прямий АВ.

416 *. Дано площину α і пряма а, яка перетинає площину в точці М і не перпендикулярна α. Доведіть, що в плос- кістки α через точку М проходить пряма, перпендикулярна прямий а, і до того ж лише одна.

417. На прямій, перпендикулярній площині α, взяті дві точки А і В, що не лежать в площині α, а в площині α взяті дві точки X і Y. Відомо, що ХА\u003e Хb. Порівняйте відрізки

Yа і Yв.

Связьмеждупараллельностьюіперпендікулярностьюпрямихіплоскостей 403

Вправи для повторення

418. Доведіть, що всі прямі площині, перпендикулярні даної прямої площині, утворюють цю площину.

419. Як розділити відрізок навпіл, користуючись лише шаблоном: а) прямого кута; б) гострого кута?

420. Сторони паралелограма дорівнюють 2 м і 16 дм; відстань між великими сторонами - 8 дм. Визначте відстань між меншими сторонами.

Основні твердження

Теореми, що встановлюють зв'язок між паралельною прямих і їх перпендикулярністю до площини. Теорема 2: Якщо дві прямі перпендикулярні до площини, то вони паралельні між собою. Терема 1: Якщо одна з двох паралельних прямих перпендикулярна до площини, то й інша пряма перпендикулярна до цієї площини.

Геометрія 10 клас

«Приклади симетрії в природі» - Симетрія в геології. Симетрія циліндра. Симетрія в біології. Види симетрії. Симетрія в географії. Приклади симетричного розподілу. Симетрія в природі. Що таке симетрія. Дискретна симетрія. Людина, багато тварин і рослини мають двосторонньою симетрією. Природні об'єкти. Симетрія є фундаментальним властивістю природи. Симетрія зовнішньої форми кристала. Симетрія в фізиці.

«Завдання на побудову перетинів» - Тетраедр. Середини ребер. Точки. Крапка. Побудова перетинів. Перетин паралелепіпеда. Рівень. Меню. Перетин паралелепіпеда площиною. Площа перетину. Побудуйте перетин тетраедра. Знайдіть точку перетину прямої. Перетин куба. Куб. Перетин тетраедра. Дані точки. Багатогранник. Шукане перетин. Середини. Побудуйте перетин куба площиною.

«Наслідки з аксіом стереометрії» - Будуйте зображення куба. Диктант. Самостійна робота. Сформулюйте теорему. Знайдіть пряму перетину площин. Аксіоми стереометрії та їх найпростіші наслідки. Слайди з геометрії. Відповідь поясніть. Різні площині. Скільки граней проходить через одну, дві, три, чотири точки. Існування площини. Перетин прямої з площиною. Назвіть лінію перетину цих площин. Прямі, що перетинаються в точці.

«Симетрія в навколишньому світі» - Більшість простих молекул має елементи просторової симетрії. Геометрія в кольорах. Піфагор. Симетрія в математиці. Квітка життя. Радіальна симетрія. Платонова тіла. Симетрія в живій природі. Древні греки. Симетрія в хімії. Сакральна геометрія. Актиноморфними симетрія. Біооб'єкти з досконалою точковою симетрією. Перенесення. Симетрія навколо нас. Симетрія.

«Основні аксіоми стереометрії» - Стародавня китайське прислів'я. Геометричні тіла. Предмет стереометрії. Геометрія. Чотири рівносторонніх трикутника. Наслідки з аксіом. Піраміда Хеопса. Точки прямий лежать в площині. Основні фігури в просторі. Площина. Перші уроки стереометрії. Наслідки з аксіом стереометрії. Аксіома. Площині мають загальну точку. Джерела і посилання. Зображення просторових фігур. Аксіоми стереометрії.

«Паралелепіпед» - В паралелепіпед можна вписати тетраедр. Висновок формули об'єму прямокутного паралелепіпеда. Відрізок, що з'єднує дві вершини. У паралелепіпеда протилежні грані паралельні і рівні. Довільний паралелепіпед. Так паралелепіпед виглядає в розгортці. Площа поверхні прямокутного паралелепіпеда. прямокутний паралелепіпед. «Зальцбурзький паралелепіпед». Паралелепіпед симетричний щодо середини його діагоналі.