У 25 знайти безліч значень функції. Область значення функцій у задачах еге

Сьогодні на уроці ми звернемося до одного з основних понять математики – поняття функції; детальніше розглянемо одне з властивостей функції - безліч її значень.

Хід уроку

Вчитель. Вирішуючи завдання, ми помічаємо, що часом саме знаходження безлічі значень функції ставить нас у скрутні ситуації. Чому? Здавалося б, вивчаючи функцію з 7 класу, ми знаємо про неї досить багато. Тому ми маємо всі підстави зробити запобіжний хід. Давайте сьогодні самі пограємо з безліччю значень функції, щоб зняти багато питань цієї теми на іспиті.

Безліч значень елементарних функцій

Вчитель. Для початку необхідно повторити графіки, рівняння та безлічі значень основних елементарних функцій по всій області визначення.

На екран проектуються графіки функцій: лінійної, квадратичної, дробово-раціональної, тригонометричної, показової та логарифмічної, для кожної з них усно визначається безліч значень. Зверніть увагу учнів те що, що з лінійної функції E(f) = Rабо одне число, у дробово-лінійної

Це наша абетка. Приєднавши до неї наші знання про перетворення графіків: паралельне перенесення, розтягування, стиснення, відображення, ми зможемо вирішити завдання першої частини ЄДІ і навіть трохи складніше. Перевіримо це.

Самостійна робота

У слов'я завдань та системи координат надруковані для кожного учня.

1. Знайдіть безліч значень функції по всій області визначення:

а) y= 3 sin х ;
б) y = 7 – 2 х ;
в) y= -arccos ( x + 5):
г) y= | arctg x |;
д)

2. Знайдіть безліч значень функції y = x 2 на проміжку J, якщо:

а) J = ;
б) J = [–1; 5).

3. Задайте функцію аналітично (рівнянням), якщо безліч її значень:

1) E(f(x)) = (–∞ ; 2] і f(x) - функція

а) квадратична,
б) логарифмічна,
в) показова;

2) E(f(x)) = R \{7}.

Під час обговорення завдання 2самостійної роботи зверніть увагу учнів на те, що, у разі монотонності та безперервності функції y=f(x)на заданому проміжку[a;b],безліч її значень-проміжок,кінцями якого є значення f(a)і f(b).

Варіанти відповідей до завдання 3.

1.
а) y = –x 2 + 2 , y = –(x + 18) 2 + 2,
y= a(x – xв) 2 + 2 при а < 0.

б) y= - | log 8 x | + 2,

в) y = –| 3 x – 7 | + 2, y = –5 | x | + 3.

2.
а) б)

в) y = 12 – 5x, де x ≠ 1 .

Знаходження безлічі значень функції за допомогою похідної

Вчитель. У 10-му класі ми знайомилися з алгоритмом знаходження екстремумів безперервної на відрізку функції та відшукання її безлічі значень, не спираючись на графік функції. Згадайте, як ми це робили? ( За допомогою похідної.) Давайте згадаємо цей алгоритм .

Завдання застосування даного алгоритму зустрічаються у випадках ЕГЭ. Так, наприклад, у 2008 році було запропоновано таке завдання. Вам належить вирішити її вдома .

Завдання С1.Знайдіть найбільше значення функції

f(x) = (0,5x + 1) 4 – 50(0,5x + 1) 2

за | x + 1| ≤ 3.

Умови домашніх завдань надруковані для кожного учня .

Знаходження безлічі значень складної функції

Вчитель. Основну частину нашого уроку складуть нестандартні завдання, що містять складні функції, похідні яких є дуже складними висловлюваннями. Та й графіки цих функцій нам невідомі. Тому для вирішення ми будемо використовувати визначення складної функції, тобто залежність між змінними в порядку їх вкладеності в цю функцію, та оцінку їхньої області значень (проміжок зміни їх значень). Завдання такого виду зустрічаються у другій частині ЄДІ. Звернемося до прикладів.

Завдання 1.Для функцій y = f(x) та y = g(x) записати складну функцію y = f(g(x)) і знайти її безліч значень:

а) f(x) = –x 2 + 2x + 3, g(x) = sin x;
б) f(x) = –x 2 + 2x + 3, g(x) = log 7 x;
в) g(x) = x 2 + 1;
г)

Рішення.а) Складна функція має вигляд: y= -sin 2 x+ 2sin x + 3.

Вводячи проміжний аргумент t, ми можемо записати цю функцію так:

y= –t 2 + 2t+ 3, де t= sin x.

У внутрішньої функції t= sin xаргумент набуває будь-яких значень, а безліч її значень - відрізок [–1; 1].

Таким чином, для зовнішньої функції y = –t 2 +2t+ 3 ми довідалися проміжок зміни значень її аргументу t: t[-1; 1]. Звернемося до графіка функції y = –t 2 +2t + 3.

Помічаємо, що квадратична функція при t[-1; 1] приймає найменше та найбільше значення на його кінцях: yнайм = y(-1) = 0 і yнайб = y(1) = 4. Оскільки ця функція безперервна на відрізку [–1; 1], то вона набуває і всіх значень між ними.

Відповідь: y .

б) Композиція цих функцій призводить до складної функції, яка після введення проміжного аргументу, може бути представлена ​​так:

y= –t 2 + 2t+ 3, де t= log 7 x,

У функції t= log 7 x

x (0; +∞ ), t (–∞ ; +∞ ).

У функції y = –t 2 + 2t+ 3 (див. графік) аргумент tприймає будь-які значення, а сама квадратична функція набуває всіх значень не більше 4.

Відповідь: y (–∞ ; 4].

в) Складна функція має такий вигляд:

Вводячи проміжний аргумент, отримуємо:

де t = x 2 + 1.

Тому що для внутрішньої функції x R , а t .

Відповідь: y (0; 3].

г) Композиція двох даних функцій дає нам складну функцію

яка може бути записана як

Зауважимо, що

Значить, при

де k Z , t [–1; 0) (0; 1].

Намалювавши графік функції бачимо, що за цих значень t

y(–∞ ; –4] c ;

б) по всій області визначення.

Рішення.Спочатку досліджуємо цю функцію монотонність. Функція t= arcctg x- безперервна і спадна на R та безліч її значень (0; π). Функція y= log 5 tвизначена на проміжку (0; π), безперервна та зростає на ньому. Отже, ця складна функція зменшується на безлічі R . І вона, як композиція двох безперервних функцій, буде безперервною на R .

Розв'яжемо завдання «а».

Так як функція безперервна на всій числовій осі, вона безперервна і на будь-якій її частині, зокрема, на даному відрізку. А тоді вона на цьому відрізку має найменше та найбільше значення і набуває всіх значень між ними:

f

Яке з набутих значень більше? Чому? І яким буде безліч значень?

Відповідь:

Розв'яжемо завдання «б».

Відповідь: у(–∞ ; log 5 π) по всій області визначення.

Завдання з параметром

Тепер спробуємо скласти та вирішити нескладне рівняння з параметром виду f(x) = a, де f(x) - та сама функція, що у завданні 4.

Завдання 5.Визначте кількість коренів рівняння log 5 (arcctg x) = адля кожного значення параметра а.

Рішення.Як ми вже показали у завданні 4, функція у= log 5 (arcctg x) - убуває і безперервна на R і набуває значення менше log 5 π. Цих відомостей достатньо, щоб відповісти.

Відповідь:якщо а < log 5 π, то уравнение имеет единственный корень;

якщо а≥ log 5 π, то коріння немає.

Вчитель. Сьогодні ми розглянули завдання, пов'язані зі знаходженням безлічі значень функції. На цьому шляху ми відкрили для себе новий метод розв'язання рівнянь та нерівностей - метод оцінки, тому знаходження безлічі значень функції стало засобом вирішення завдань вищого рівня. У цьому ми побачили, як конструюються такі завдання як властивості монотонності функції полегшують їх вирішення.

І мені хочеться сподіватися, що та логіка, яка пов'язала розглянуті сьогодні завдання, вас вразила чи хоча б здивувала. Інакше й не може бути: сходження на нову вершину нікого не залишає байдужим! Ми помічаємо та цінуємо красиві картини, скульптури тощо. Але й у математиці є своя краса, що притягує та заворожує – краса логіки. Математики говорять, що гарне рішення – це, як правило, правильне рішення, і це не просто фраза. Тепер Вам самим належить знаходити такі рішення і один із шляхів до них ми вказали сьогодні. Удачі вам! І пам'ятайте: дорогу здолає той, хто йде!

Залежність однієї змінної від іншої називається функціональною залежністю.Залежність змінної yвід змінної xназивається функцієюякщо кожному значенню xвідповідає єдине значення y.

Позначення:

Змінну xназивають незалежною змінною або аргументом, а змінну y- Залежної. Кажуть що yє функцією від x. Значення y, що відповідає заданому значенню x, називають значенням функції.

Усі значення, які набуває x, утворюють область визначення функції; всі значення, які набуває y, утворюють безліч значень функції.

Позначення:

D(f)- Значення аргументу. E(f)- Значення функції. Якщо функція задана формулою, вважають, що область визначення складається з усіх значень змінної, у яких ця формула має сенс.

Графіком функціїназивається безліч всіх точок на координатній площині, абсциси яких рівні значенням аргументу, а ординати - відповідним значенням функції. Якщо деякому значенню x=x 0відповідають декілька значень (а не одне) y, то така відповідність не є функцією. Для того щоб безліч точок координатної площини було графіком деякої функції, необхідно і достатньо, щоб будь-яка пряма паралельна осі Оу перетиналася з графіком не більше ніж в одній точці.

Способи завдання функції

1) Функція може бути задана аналітичнояк формули. Наприклад,

2) Функція може бути задана таблицею з безлічі пар (x; y).

3) Функція може бути задана графічно. Пари значень (x; y)зображуються на координатній площині.

Монотонність функції

Функція f(x)називається зростаючоюна даному числовому проміжку, якщо більшого значення аргументу відповідає більше значення функції. Уявіть, що деяка точка рухається за графіком зліва направо. Тоді точка буде "підбиратися" вгору за графіком.

Функція f(x)називається спадаючоюна даному числовому проміжку, якщо більшого значення аргументу відповідає менше значення функції. Уявіть, що деяка точка рухається за графіком зліва направо. Тоді точка буде "скатуватися" вниз за графіком.

Функція, що тільки зростає або лише зменшується на даному числовому проміжку, називається монотонноїна цьому проміжку.

Нулі функції та проміжки знакостійності

Значення х, за яких y=0, називається нулями функції. Це абсциси точок перетину графіка функції з віссю Ох.

Такі проміжки значень x, на яких значення функції yабо тільки позитивні, або тільки негативні, називаються проміжками знакостійності функції.

Парні та непарні функції

Парна функція
1) Область визначення симетрична щодо точки (0; 0), тобто якщо точка aналежить області визначення, то точка -aтакож належить області визначення.
2) Для будь-якого значення x f(-x)=f(x)
3) Графік парної функції симетричний щодо осі Оу.

Непарна функціямає такі властивості:
1) Область визначення симетрична щодо точки (0; 0).
2) для будь-якого значення x, що належить області визначення, виконується рівність f(-x)=-f(x)
3) Графік непарної функції симетричний щодо початку координат (0; 0).

Не всяка функція є парною чи непарною. Функції загального виглядуне є ні парними, ні непарними.

Періодичні функції

Функція fназивається періодичною, якщо існує таке число , що за будь-якого xв галузі визначення виконується рівність f(x)=f(x-T)=f(x+T). T- Це період функції.

Будь-яка періодична функція має безліч періодів. Насправді зазвичай розглядають найменший позитивний період.

Значення періодичної функції через проміжок, що дорівнює періоду, повторюються. Це використовують при побудові графіків.

Поняття функції і все, що з ним пов'язане, відноситься до традиційно складних, не до кінця зрозумілих. Особливим каменем спотикання щодо функції і підготовці до ЄДІ є область визначення і область значень (зміни) функції.
Нерідко учні не бачать різниці між областю визначення функції та областю її значень.
І якщо завдання перебування області визначення функції учням вдається освоїти, то завдання перебування безлічі значень функції викликають вони чималі труднощі.
Мета цієї статті: ознайомлення з методами знаходження значень функції.
У результаті розгляду цієї теми було вивчено теоретичний матеріал, розглянуто способи вирішення завдань на знаходження множин значень функції, підібрано дидактичний матеріал для самостійної роботи учнів.
Ця стаття може бути використана вчителем для підготовки учнів до випускних і вступних іспитів, щодо теми “Область значення функції” на факультативних заняттях елективних курсах з математики.

I. Визначення області значень функції.

Області (множиною) значень E(у) функції y = f(x) називають безліч таких чисел y 0 , для кожного з яких знайдеться таке число x 0 , що: f(x 0) = y 0 .

Нагадаємо області значень основних елементарних функцій.

Розглянемо таблицю.

Зауважимо також, що областю значення будь-якого многочлена парного ступеня є проміжок , де n найбільше значення цього многочлена.

ІІ. Властивості функцій, що використовуються при знаходженні області значень функції

Для успішного знаходження безлічі значень функції треба добре знати властивості основних елементарних функцій, особливо їх області визначення, області значень та характер монотонності. Наведемо властивості безперервних, монотонних функцій, що диференціюються, найбільш часто використовуються при знаходженні безлічі значень функцій.

Властивості 2 і 3, як правило, використовуються разом властивістю елементарної функції бути безперервною у своїй галузі визначення. При цьому найбільш просте і коротке рішення задачі на знаходження множини значень функції досягається на підставі властивості 1, якщо нескладними методами вдається визначити монотонність функції. Вирішення завдання ще спрощується, якщо функція, до того ж, – парна чи непарна, періодична тощо. Таким чином, при вирішенні задач на знаходження множин значень функції слід при необхідності перевіряти та використовувати наступні властивості функції:

• безперервність;
• монотонність;
• диференційність;
• парність, непарність, періодичність тощо.

Нескладні завдання на знаходження безлічі значень функції здебільшого орієнтовані:

а) на використання найпростіших оцінок та обмежень: (2 х >0, -1?sinx?1, 0?cos 2 x?1 і т.д.);

б) виділення повного квадрата: х 2 – 4х + 7 = (х – 2) 2 + 3;

в) на перетворення тригонометричних виразів: 2sin 2 x - 3cos 2 x + 4 = 5 sin 2 x +1;

г) використання монотонності функції x 1/3 + 2 x-1 зростає R.

ІІІ. Розглянемо методи знаходження областей значень функцій.

а) послідовне знаходження значень складних аргументів функції;
б) метод оцінок;
в) використання властивостей безперервності та монотонності функції;
г) використання похідної;
д) використання найбільшого та найменшого значень функції;
е) графічний метод;
ж) метод запровадження параметра;
з) метод зворотної функції.

Розкриємо суть цих методів на конкретних прикладах.

Приклад 1. Знайдіть область значень E(y)функції y = log 0,5 (4 - 2 · 3 x - 9 x).

Розв'яжемо цей приклад методом послідовного знаходження значень складних аргументів функції. Виділивши повний квадрат під логарифмом, перетворюємо функцію

y = log 0,5 (5 - (1 + 2 · 3 x - 3 2x)) = log 0,5 (5 - (3 x + 1) 2)

І послідовно знайдемо безліч значень її складних аргументів:

E(3 x) = (0;+∞), E(3 x + 1) = (1;+∞), E(-(3 x + 1) 2 = (-∞;-1), E(5 – (3 x +1) 2) = (-∞;4)

Позначимо t= 5 – (3 x +1) 2 , де -∞≤ t≤4. Тим самим завдання зводиться до знаходження множини значень функції y = log 0,5 t на промені (-∞;4) . Так як функція y = log 0,5 t визначена лише при, то її безліч значень на промені (-∞; 4) збігається з безліччю значень функції на інтервалі (0; 4), що представляє собою перетин променя (-∞; 4) з областю визначення (0; + ∞) логарифмічної функції. На інтервалі (0;4) ця функція безперервна і зменшується. При t> 0 вона прагне +∞, а при t = 4 набуває значення -2, тому E(y) =(-2, +∞).

Приклад 2. Знайдіть область значень функції

y = cos7x + 5cosx

Вирішимо цей приклад методом оцінок, суть якого полягає в оцінці безперервної функції знизу і зверху та в доказі досягнення функцією нижньої та верхньої межі оцінок. При цьому збіг безлічі значень функції з проміжком від нижньої межі оцінки до верхньої зумовлюється безперервністю функції та відсутністю в неї інших значень.

З нерівностей -1≤cos7x?1, -5≤5cosx?5 отримаємо оцінку -6≤y?6. При x = р і x = 0 функція набуває значення -6 і 6, тобто. досягає нижньої та верхньої межі оцінки. Як лінійна комбінація безперервних функцій cos7x і cosx, функція y безперервна на всій числовій осі, тому за властивістю безперервної функції вона набуває всіх значень з -6 до 6 включно, і тільки їх, тому що через нерівності -6≤y?6 інші значення у неї неможливі. Отже, E(y)= [-6;6].

Приклад 3. Знайдіть область значень E(f)функції f(x)= cos2x + 2cosx.

За формулою косинуса подвійного кута перетворюємо функцію f(x)= 2cos 2 x + 2cosx - 1 і позначимо t= cosx. Тоді f(x)= 2t 2 + 2t – 1. Оскільки E(cosx) =

[-1;1], то область значень функції f(x)збігається з безліччю значень функції g (t)= 2t 2 + 2t - 1 на відрізку [-1; 1], яке знайдемо графічним методом. Побудувавши графік функції y = 2t 2 + 2t – 1 = 2(t + 0,5) 2 – 1,5 на проміжку [-1;1], знаходимо E(f) = [-1,5; 3].

Зауваження – до знаходження безлічі значень функції зводяться багато завдань із параметром, пов'язані, переважно, з розв'язністю і числом розв'язків рівняння і нерівностей. Наприклад, рівняння f(x)= а дозволимо тоді і лише тоді, коли

a E(f)Аналогічно, рівняння f(x)= а має хоча б один корінь, розташований на деякому проміжку Х, або не має жодного кореня на цьому проміжку тоді і тільки тоді, коли належить або не належить безлічі значень функції f(x)на проміжку Х. Також досліджуються із залученням безлічі значень функції та нерівності f(x)≠а, f(x)>а і т.д. Зокрема, f(x)≠а для всіх допустимих значень х якщо a E(f)

Приклад 4. За яких значень параметра а рівняння (x + 5) 1/2 = a(x 2 + 4) має єдиний корінь на відрізку [-4;-1].

Запишемо рівняння у вигляді (x + 5) 1/2/(x 2 + 4) = a . Останнє рівняння має хоча б один корінь на відрізку [-4;-1] тоді і тільки тоді, коли належить безлічі значень функції f(x) =(x+5) 1/2/(x2+4) на відрізку [-4;-1]. Знайдемо це безліч, використовуючи властивість безперервності та монотонності функції.

На відрізку [-4;-1] функція y = xІ + 4 безперервна, зменшується і позитивна, тому функція g(x) = 1/(x 2 + 4) безперервна і зростає у цьому відрізку, оскільки за розподілі на позитивну функцію характер монотонності функції змінюється на протилежний. Функція h(x) =(x + 5) 1/2 безперервна і зростає у своїй галузі визначення D(h) =[-5;+∞) і, зокрема, на відрізку [-4;-1], де вона, крім того, позитивна. Тоді функція f(x)=g(x)·h(x), як добуток двох безперервних, зростаючих і позитивних функцій, також безперервна і збільшується на відрізку [-4;-1], тому її безліч значень на [-4;-1] є відрізок [ f(-4); f(-1)] = . Отже, рівняння має рішення на відрізку [-4;-1], причому єдине (за якістю безперервної монотонної функції), при 0,05 ≤ a ≤ 0,4

Зауваження. Розв'язність рівняння f(x) = aна деякому проміжку Х дорівнює приналежності значень параметра абезлічі значень функції f(x)на Х. Отже, безліч значень функції f(x)на проміжку Х збігається з безліччю значень параметра а, для яких рівняння f(x) = aмає хоча б один корінь на проміжку Х. Зокрема, область значень E(f)функції f(x)збігається з безліччю значень параметра а, для яких рівняння f(x) = aмає хоча б один корінь.

Приклад 5. Знайдіть область значень E(f)функції

Розв'яжемо приклад методом введення параметра, згідно з яким E(f)збігається з безліччю значень параметра а, для яких рівняння

має хоча б один корінь.

При а = 2 рівняння є лінійним - 4х - 5 = 0 з ненульовим коефіцієнтом при невідомій х тому має рішення. При а≠2 рівняння є квадратним, тому воно можна розв'язати тоді і тільки тоді, коли його дискримінант

Оскільки точка а = 2 належить відрізку

то шуканим безліччю значень параметра а,отже, і областю значень E(f)буде весь відрізок.

Як безпосередній розвиток методу введення параметра при знаходженні безлічі значень функції можна розглядати метод зворотної функції, для знаходження якої треба вирішити щодо рівняння f(x)= y, Вважаючи y параметром. Якщо це рівняння має єдине рішення x = g (y), то область значень E(f)вихідної функції f(x)збігається з областю визначення D(g)зворотної функції g(y). Якщо ж рівняння f(x)= yмає кілька рішень x = g 1 (y), x = g 2 (y)і т.д., то E(f)дорівнює об'єднанню областей визначень функції g 1 (y), g 2 (y)і т.д.

Приклад 6. Знайдіть область значень E(y)функції y = 5 2/(1-3x).

З рівняння

знайдемо зворотну функцію x = log 3 ((log 5 y – 2)/(log 5 y)) та її область визначення D(x):

Оскільки рівняння щодо х має єдине рішення, то

E(y) = D(x) = (0; 1)(25;+∞).

Якщо область визначення функції складається з кількох проміжків чи функція різних проміжках задана різними формулами, то знаходження області значень функції треба знайти безлічі значень функції кожному проміжку і їх об'єднання.

Приклад 7. Знайдіть області значень f(x)і f(f(x)), де

f(x)на промені (-∞;1], де вона збігається з виразом 4 x + 9 · 4 - x + 3. Позначимо t = 4 x. Тоді f(x) = t + 9/t + 3, де 0< t ≤ 4 , так как показательная функция непрерывно возрастает на луче (-∞;1] и стремится к нулю при х → -∞. Тем самым множество значений функции f(x)на промені (-∞;1] збігається з безліччю значень функції g(t) = t + 9/t + 3, на проміжку (0;4], яке знайдемо, використовуючи похідну g'(t) = 1 - 9/t 2. На проміжку (0;4] похідна g’(t)визначено і звертається там в нуль при t = 3. При 0<t<3 она отрицательна, а при 3<t<4 положительна. Следовательно, в интервале (0;3) функция g(t)зменшується, а інтервалі (3;4) вона зростає, залишаючись безперервною усім проміжку (0;4), поэтом g (3)= 9 – найменше значень цієї функції на проміжку (0;4], тоді як її найбільше значення немає, так при t→0справа функція g(t)→+∞.Тоді, за якістю безперервної функції, безліччю значень функції g(t)на проміжку (0; 4], а значить, і безліччю значень f(x)на (-∞;-1], буде промінь .

Тепер, об'єднавши проміжки – безліч значень функції f(f(x)), позначимо t = f(x). Тоді f(f(x)) = f(t), де При зазначених tфункція f(t)= 2cos( x-1) 1/2+ 7 і знову приймає всі значення від 5 до 9 включно, тобто. область значень E(fІ) = E(f(f(x))) =.

Аналогічно, позначивши z = f(f(x)), можна знайти область значень E(f 3)функції f(f(f(x))) = f(z)де 5 ≤ z ≤ 9 і т.д. Впевніться, що E(f 3) = .

Найбільш універсальним методом знаходження множини значень функції є використання найбільшого та найменшого значень функції на заданому проміжку.

Приклад 8. При яких значеннях параметра рнерівність 8 x - р ≠ 2 x+1 – 2 xвиконується для всіх -1 ≤ x< 2.

Позначивши t = 2 x, запишемо нерівність у вигляді р ≠ t 3 – 2t 2 + t. Так як t = 2 x- безперервна зростаюча функція на R,то при -1 ≤ x< 2 переменная

2 -1 ≤ t<2 2 ↔

0,5 ≤ t< 4, и исходное неравенство выполняется для всех -1 ≤ x < 2 тогда и только тогда, когда рвідмінна від значень функції f(t) = t 3 - 2t 2 + tпри 0,5 ≤ t< 4.

Знайдемо спочатку безліч значень функції f(t)на відрізку, де вона всюди має похідну f'(t) = 3t 2 - 4t + 1. Отже, f(t)диференційована, отже, і безперервна на відрізку. З рівняння f'(t) = 0знайдемо критичні точки функції t = 1/3, t = 1,перша з яких не належить відрізку, а друга належить йому. Так як f(0,5) = 1/8, f(1) = 0, f(4) = 36,то, за якістю диференційованої функції, 0 – найменше, а 36 – найбільше значення функції f(t)на відрізку. Тоді f(t),як безперервна функція, приймає на відрізку всі значення від 0 до 36 включно, причому значення 36 набуває тільки при t = 4тому при 0,5 ≤ t< 4, она принимает все значения из промежутка . Знайдемо найбільше та найменше значення функції на цьому відрізку.

Похідна позитивна для всіх xз інтервалу (-1; 1) , тобто, функція арксинусу зростає по всій області визначення. Отже, найменше значення вона набуває при x = -1, а найбільше при x = 1.

Ми отримали область значень функції арксинусу .

Знайдіть безліч значень функції на відрізку .

Рішення.

Знайдемо найбільше та найменше значення функції на даному відрізку.

Визначимо точки екстремуму, що належать відрізку :

Багато завдань приводять нас до пошуку безлічі значень функції на деякому відрізку або по всій області визначення. До таких завдань можна віднести різні оцінки виразів, розв'язання нерівностей.

У цій статті дамо визначення області значень функції, розглянемо методи її знаходження та докладно розберемо рішення прикладів від простих до складніших. Весь матеріал забезпечимо графічними ілюстраціями для наочності. Так що ця стаття є розгорнутою відповіддю на питання, як знаходити область значень функції.

Визначення.

Безліч значень функції y = f(x) на інтервалі Xназивають безліч всіх значень функції, які вона набуває при переборі всіх .

Визначення.

Область значень функції y = f(x)називається безліч всіх значень функції, які вона приймає при переборі всіх x з області визначення .

Область значень функції позначають як E(f).

Область значень функції та безліч значень функції - це не те саме. Ці поняття вважатимемо еквівалентними, якщо інтервал X при знаходженні безлічі значень функції y = f(x) збігається з областю визначення функції.

Не плутайте область значень функції зі змінною x для виразу, що знаходиться в правій частині рівності y=f(x) . Область допустимих значень змінної x виразу f(x) – це область визначення функції y=f(x) .

На малюнку наведено кілька прикладів.

Графіки функцій показані жирними синіми лініями, тонкі червоні лінії – асимптоти, рудими точками та лініями на осі Оy зображена область значень відповідної функції.

Як бачите, область значень функції виходить, якщо спроектувати графік функції на вісь ординат. Вона може бути одним одниною (перший випадок), безліччю чисел (другий випадок), відрізком (третій випадок), інтервалом (четвертий випадок), відкритим променем (п'ятий випадок), об'єднанням (шостий випадок) тощо.

Так що ж потрібно робити для знаходження області значень функції.

Почнемо з найпростішого випадку: покажемо як визначати безліч значень безперервної функції y = f(x) на відрізку .

Відомо, що безперервна на відрізку функція досягає на ньому свого найбільшого та найменшого значень. Таким чином, безліччю значень вихідної функції на відрізку буде відрізок . Отже, наше завдання зводиться до знаходження найбільшого та найменшого значення функції на відрізку .

Наприклад знайдемо область значень функції арксинусу.

приклад.

Вкажіть область значень функції y = arc sinx.

Рішення.

Області визначення арксинусу є відрізок [-1; 1]. Знайдемо найбільше та найменше значення функції на цьому відрізку.

Похідна позитивна всім x з інтервалу (-1; 1) , тобто, функція арксинусу зростає по всій області визначення. Отже, найменше значення вона набуває при x = -1 , а найбільше при x = 1 .

Ми отримали область значень функції арксинусу .

приклад.

Знайдіть безліч значень функції на відрізку.

Рішення.

Знайдемо найбільше та найменше значення функції на даному відрізку.

Визначимо точки екстремуму, що належать відрізку:

Обчислюємо значення вихідної функції на кінцях відрізка та у точках :

Отже, безліччю значень функції на відрізку є відрізок .

Тепер покажемо, як знаходити безліч значень безперервної функції y = f(x) проміжках (a; b) , .

Спочатку визначаємо точки екстремуму, екстремуми функції, проміжки зростання та зменшення функції на даному інтервалі. Далі обчислюємо на кінцях інтервалу та (або) межі на нескінченності (тобто досліджуємо поведінку функції на межах інтервалу або на нескінченності). Цієї інформації достатньо, щоб знайти безліч значень функції на таких проміжках.

приклад.

Визначте безліч значень функції на інтервалі (-2; 2).

Рішення.

Знайдемо точки екстремуму функції, що потрапляють на проміжок (-2; 2):

Крапка x = 0 є точкою максимуму, так як похідна змінює знак з плюсу на мінус при переході через неї, а графік функції від зростання переходить до спадання.

є відповідний максимум функції.

З'ясуємо поведінку функції при x, що прагне до -2 праворуч і при x, що прагне до 2 зліва, тобто, знайдемо односторонні межі:

Що ми отримали: при зміні аргументу від -2 на нуль значення функції зростають від мінус нескінченності до мінус однієї четвертої (максимуму функції при x = 0 ), при зміні аргументу від нуля до 2 значення функції зменшуються до мінус нескінченності. Таким чином, безліч значень функції на інтервалі (-2; 2) є .

приклад.

Вкажіть множину значень функції тангенсу y = tgx на інтервалі.

Рішення.

Похідна функції тангенсу на інтервалі позитивна що вказує на зростання функції. Досліджуємо поведінку функції на межах інтервалу:

Таким чином, при зміні аргументу від значення функції зростають від мінус нескінченності до плюс нескінченності, тобто, безліч значень тангенса на цьому інтервалі є безліч всіх дійсних чисел .

приклад.

Знайдіть область значень функції натурального логарифму y = lnx.

Рішення.

Функція натурального логарифму визначена для позитивних значень аргументу . На цьому інтервалі похідна позитивна Це говорить про зростання функції на ньому. Знайдемо односторонню межу функції при прагненні аргументу до нуля праворуч, і межа при x, що прагне до плюс нескінченності:

Ми бачимо, що за зміни x від нуля до плюс нескінченності значення функції зростають від мінус нескінченності до плюс нескінченності. Отже, областю значень функції натурального логарифму є безліч дійсних чисел.

приклад.

Рішення.

Ця функція визначена всім дійсних значень x . Визначимо точки екстремуму, а також проміжки зростання та зменшення функції.

Отже, функція зменшується при , зростає при , x = 0 - точка максимуму, відповідний максимум функції.

Подивимося на поведінку функції на нескінченності:

Таким чином, на нескінченності значення функції асимптотично наближаються до нуля.

Ми з'ясували, що при зміні аргументу від мінус нескінченності до нуля (точки максимуму) значення функції зростають від нуля до дев'яти (до максимуму функції), а при зміні x від нуля до плюс нескінченності значення функції зменшуються від дев'яти до нуля.

Подивіться схематичний малюнок.

Тепер добре видно, що область значень функції .

Знаходження множини значень функції y = f(x) на проміжках вимагає аналогічних досліджень. Не будемо зараз докладно зупинятись на цих випадках. У прикладах нижче вони ще зустрінуться.

Нехай область визначення функції y = f(x) є об'єднанням кількох проміжків. При знаходженні області значень такої функції визначаються безлічі значень кожному проміжку і береться їх об'єднання.

приклад.

Знайдіть область значень функції.

Рішення.

Знаменник нашої функції не повинен звертатися в нуль, тобто .

Спочатку знайдемо безліч значень функції на відкритому промені.

Похідна функції негативна у цьому проміжку, тобто, функція зменшується у ньому.

Отримали, що при прагненні аргументу мінус нескінченності значення функції асимптотично наближаються до одиниці. При зміні x від мінус нескінченності до двох значення функції зменшуються від одного до мінус нескінченності, тобто, на проміжку, що розглядається, функція приймає безліч значень . Одиницю не включаємо, оскільки значення функції не досягають її, а лише асимптотично прагнуть до неї на мінус нескінченності.

Діємо аналогічно для відкритого променя.

На цьому проміжку функція теж зменшується.

Безліч значень функції на цьому проміжку є безліч.

Таким чином, потрібна область значень функції є об'єднання множин і .

Графічні ілюстрації.

Окремо слід зупинитись на періодичних функціях. Область значень періодичних функцій збігається з безліччю значень проміжку, що відповідає періоду цієї функції.

приклад.

Знайдіть область значень функції синуса y = sinx.

Рішення.

Ця функція періодична з періодом два пі. Візьмемо відрізок та визначимо безліч значень на ньому.

Відрізку належать дві точки екстремуму та .

Обчислюємо значення функції у цих точках та на межах відрізка, вибираємо найменше та найбільше значення:

Отже, .

приклад.

Знайдіть область значення функції .

Рішення.

Ми знаємо, що областю значень арккосинусу є відрізок від нуля до пі, тобто, або в іншому записі. Функція може бути отримана з arccosx зсувом і розтягуванням вздовж осі абсцис. Такі перетворення на область значень не впливають, тому, . Функція виходить з розтягуванням втричі вздовж осі Оy , тобто, . І остання стадія перетворень - це зрушення на чотири одиниці вниз по осі ординат. Це нас призводить до подвійної нерівності

Таким чином, потрібна область значень є .

Наведемо рішення ще одного прикладу, але без пояснень (вони не потрібні, тому що повністю аналогічні).

приклад.

Визначте область значень функції .

Рішення.

Запишемо вихідну функцію у вигляді . Областью значень статечної функції є проміжок. Тобто, . Тоді

Отже, .

Для повноти картини слід поговорити про знаходження області значень функції, яка є безперервної області визначення. У цьому випадку область визначення розбиваємо точками розриву на проміжки, і знаходимо безліч значень на кожному з них. Об'єднавши отримані множини значень, отримаємо область значень вихідної функції. Рекомендуємо згадати 3 зліва значення функції прагнуть мінус одиниці, а при прагненні x до 3 справа значення функції прагнуть плюс нескінченності.

Таким чином, область визначення функції розбиваємо на три проміжки.

На проміжку маємо функцію . Оскільки , то

Таким чином, безліч значень вихідної функції на проміжку є [-6; 2].

На напівінтервалі маємо постійну функцію y = -1. Тобто безліч значень вихідної функції на проміжку складається з єдиного елемента .

Функція визначена всім дійсних значень аргументу. З'ясуємо проміжки зростання та зменшення функції.

Похідна перетворюється на нуль при x=-1 і x=3 . Зазначимо ці точки на числовій осі та визначимо знаки похідної на отриманих інтервалах.

Функція зменшується на , Зростає на [-1; 3] , x=-1 точка мінімуму, x=3 точка максимуму.

Обчислимо відповідні мінімум та максимум функції:

Перевіримо поведінку функції на нескінченності:

Другу межу обчислювали за .

Зробимо схематичне креслення.

При зміні аргументу від мінус нескінченності до -1 значення функції зменшуються від плюс нескінченності до -2e , при зміні аргументу від -1 до 3 значення функції зростають від -2e до , при зміні аргументу від 3 до плюс нескінченності значення функції зменшуються від до нуля, але нуля не досягають.